Supremum Infinum obere-untere-schranke

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die Mengen M₁, M₂ ein Supremum, Infimum, Maximum oder Minimum in R besitzen, und geben Sie diese, falls vorhanden, an.

M₁ = {x ∈ R | − 1 < x ≤ 1}, M₂ ={n/(m² + n²) | n, m ∈ N}.

Begründen Sie Ihre Antwort sorgfältig.

Problem/Ansatz:

Ich brauche bitte Unterstützung bei dieser Aufgabe, kann mir jemand dabei helfen? Danke und Grüße

Answer 1

Wo liegen denn genau deine Schwierigkeiten

Kennst du die Vokabeln Supremum, Infimum, Maximum oder Minimum und weißt, was sie bedeuten?

Du kannst die Mengen M1 und M2 erklären und weißt, welche Werte in den Mengen enthalten sind und welche nicht enthalten sind.

Kannst du einen größten oder kleinsten Wert der Menge angeben? Wenn du keinen kleinsten oder größten Wert angeben kannst, dann kannst du evtl. eine kleinste obere Schranke oder eine größte untere Schranke angeben.

Comments

Was die einzelnen Begriffe bedeuten, weiß ich natürlich, aber der Unterschied ist mir nicht ganz klar.

z.B. für M₁ ist Supremum 1 und dies ist gleichzeitig das Maximum?

Und Infimum ist -1 und das ist gleichzeitig das Minimum?

für M₂ würde ich +∞ als Supremum bzw. Maximum angeben und Infimum bzw. Minimum gibt es hier nicht bzw. es ist die Zahl 1?

Und wie schreibt man das alles mathematisch korrekt eigentlich? Danke im Voraus!

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z.B. für M1 ist Supremum 1 und dies ist gleichzeitig das Maximum?

Ja. Das ist korrekt

Und Infimum ist -1 und das ist gleichzeitig das Minimum?

-1 kann kein Minimum sein, denn -1 gehört eben nicht zur Menge. Damit ist es nur eine größte untere Schranke.

für M2 würde ich +∞ als Supremum bzw. Maximum angeben

Wie erzeugst du einen Wert der größer als 100 ist?

und Infimum bzw. Minimum gibt es hier nicht bzw. es ist die Zahl 1?

Also 1/(10^2 + 1^2) wäre doch bestimmt kleiner als 1 oder nicht?

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Also gibt es für M₁ nur ein Supremum und Maximum, und kein Infimum und auch kein Minimum? Ich kenne nur "kleinste obere Schranke" per Definition für Supremum und eine "größte obere Schranke" verwirrt mich etwas... wir sprechen hier doch von einem Intervall von (-1;1] oder nicht?

M₂: stimmt, wenn hier Infimum bzw. Minimum gleich 1 ist, dann müsste ich eine Zahl finden, die als Ergebnis einen Wert kleiner als 1 liefert oder ist die 1 hier auch nur größte obere Schranke? und was ist mit Supremum bzw. Maximum?

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MC hat sich wohl verschrieben. Im Fall -1 bei M_1 Handelt es sich um eine größte untere Schranke.

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MC hat sich wohl verschrieben. Im Fall -1 bei M_1 Handelt es sich um eine größte untere Schranke.

Danke für die Korrektur. Ich habe es oben verbessert.

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Also gibt es für M1 nur ein Supremum und Maximum, und kein Infimum und auch kein Minimum?

Ein Infimum gibt es, allerdings kein Minimum.

Ich kenne nur "kleinste obere Schranke" per Definition für Supremum und eine "größte obere Schranke" verwirrt mich etwas... wir sprechen hier doch von einem Intervall von (-1;1] oder nicht?

Das war ein Schreibfehler. Tut mir leid. Ich wollte dich nicht verwirren.

M2: stimmt, wenn hier Infimum bzw. Minimum gleich 1 ist, dann müsste ich eine Zahl finden, die als Ergebnis einen Wert kleiner als 1 liefert oder ist die 1 hier auch nur größte obere Schranke? und was ist mit Supremum bzw. Maximum?

Ich weiß nicht genau, ob du überhaupt verstanden hast, welche Zahlen man mit n/(m^2 + n^2) erzeugen kann, wenn m, n ∈ N sind. Vielleicht setzt du mal ein paar Werte ein und überlegst dann, ob du einen größten und kleinsten Wert erzeugen kannst. Das Infimum und das Supremum gibt es, auch wenn du kein Minimum oder kein Maximum findest.