Sei \(A⊂\mathbb{K}\), \(s\in \mathbb{K}\). (\(\mathbb{K}\) ist ein angeordneter Körper!) Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(i) \(s=\sup A\)
(ii) \(s\) ist eine obere Schranke von \(A\) und für jedes \(\epsilon > 0\) existiert ein \(x\in A\) mit \(x>s-\epsilon\)
Definitionen:
Ein \(s\in \mathbb{K}\) heißt obere Schranke von \(A\), falls \(\tilde{s} \geq x\) für alle \(x\in A\).
Eine obere Schranke \(s\in \mathbb{K}\) von \(A\) heißt Supremum von \(A\), falls \(s\leq \tilde{s}\) für alle oberen Schranken \(\tilde{s}\) von \(A\).
Beweis:
(i)⇒(ii)
Es ist klar, dass \(s\) ist obere Schranke von \(A\) ist. Da \(s=\sup A\) ist \(s\)die \textit{kleinste obere Schranke} von \(A\) Im Umkehrschluss heißt das, dass $s-\varepsilon$ keine obere Schranke von \(A\), was bedeutet, dass es ein \(x\in A\) gibt, so dass \(x\geq s-\varepsilon\)
(ii)⇒(i)
hier habe ich noch keinen wirklichen Ansatz
