rationale Zahlen, die durch die folgenden unendlichen periodischen Dezimalbrüche dargestellt werden

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die rationalen Zahlen, die durch die folgenden unendlichen periodischen

Dezimalbrüche dargestellt werden:

r1 = 0.55... r2 = 0.3636...
r3 = 0.0483483... r4 = 0.692307692307...

Answer 1

Hallo Daniel,

Das Verfahren für die Umwandlung periodischer Dezimalzahlen in Brüche ist immer das gleiche. Multipliziere den Wert mit einer 10'ner-Potenz, so dass sich die Periode um eine Wiederholung verschiebt und ziehe davon den Wert wieder ab:$$\begin{aligned}r_1 &= 0,\overline{5} &&|\,\cdot 10 \\10r_1 &= 5,\overline{5} &&|\,-r_1 \\ 9r_1 &= 5 &&|\,\div 9 \\ r_1&=\frac59\end{aligned}$$Bei \(r_2\) muss man mit \(10^2=100\) multipizieren und \(r_3\) geht so$$\begin{aligned}r_3&= 0,0\overline{483} &&|\,\cdot \left(10^3=1000\right)\\ 1000r_3&= 48,3\overline{483}&&|\,-r_3\\ 999r_3 &= 48,3 &&|\,\div 999\\r_3&= \frac{48,3}{999} = \frac{16,1}{333}=\frac{161}{3330}\end{aligned}$$nun versuche Dich selber mal an \(r_4\). Falls etwas unklar ist, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

ich sehe gerade, dass Du es bereits mit unendlichen Reihen zu tun hattest. Obiges Problem kann man auch als eine unendliche geometrische Reihe betrachten.

Am Beispiel von \(r_3\) sähe das so aus:$$r_3 = 0,0\overline{483} = \frac1{10} \cdot 0,\overline{483} = \frac{1}{10} \sum\limits_{k=1}^{\infty} 483\left(\frac1{1000}\right)^k \\\phantom{r_3}= \frac{483}{10} \cdot \frac{\frac1{1000}}{1-\frac1{1000}} =\frac{483}{9990}=\frac{161}{3330}$$

Answer 2

\( 0,\overline{5} = \frac{5}{9} \)

\( 0,\overline{36} = \frac{36}{99}  = \frac{4}{11}  \)

\( 0,0\overline{483} = 0,\overline{483} : 10 =  \frac{483}{999} :10   = \frac{483}{9990}  = \frac{161}{3330}  \)  etc.

Answer 3

Folgendes Schema direkt einen ungekürzten Bruch zu schreiben hat man ein 8-Klässler entwickelt, der von seinem Lehrer mit solchen Aufgaben genervt wurde. Kürzen sollte dann nicht so schwer sein.

r1 = 0.55...

= 5/9

r2 = 0.3636...

= 36/99 = 4/11

r3 = 0.0483483...

= 483/9990 = 161/3330

r4 = 0.692307692307...

= 692307/999999 = 9/13