Wie zeigt man den Untervektorraum und Basis von allgemein definierter Funktion?

Question

Aufgabe: Untervektorraum und Basis zeigen

Aufgabe 3: (10 Punkte)

Es sei V:={f: {-2,-1,0,1,2}  -> R: f ist eine Funktion}  der R-Vektorraum aller reellwertigen Funktionen auf {-2,-1,0,1,2}.
Es sei G={f ∈ V I f(x)=f(-x)  für alle x ∈ {-2,-1,0,1,2\} \) die Teilmenge aller geraden Funktionen. Zeigen Sie
a) G ist ein Untervektorraum von V.
b) Die Funktionen
g1:{-2,-1,0,1,2} -> R
                    x -> R
g2 :{-2,-1,0,1,2} -> R
                    x -> x⁶
g3 :{-2,-1,0,1,2} -> R
                    x -> x² - IxI
bilden eine Basis von G

Problem/Ansatz: Theorethisch habe ich die Aufgaben verstanden und auch schon mit konkreten Funktionen gemacht. Ich habe aber keine Ahnung wie man das für eine allgemeine Funktion, siehe oben macht. Bitte um Hilfe, Danke!

Answer 1

a)  Die 0-Funktion ist gerade, denn f(x)=f(-x) ist immer erfüllt,

da alle Funktionswerte gleich 0 sind.

b) Sind f und g zwei Funktionen aus G, dann muss man zeigen

   f+g ∈ G

Da für alle x ∈ {-2,-1,0,1,2} gilt f(x)=f(-x) und g(x)=g(-x)

folgt (f+g)(x) = f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)=(f+g)(-x), also f+g ∈ G.

c) Sei k∈ℝ und f∈ G, dann muss gelten k*f ∈ G.

Geht ähnlich wie b).

Mit abc folgt: G ist eine Unterraum von V.

b)  wie ist denn g1 definiert ?

x -> R sagt mir nix !

Comments

Danke! Das ist super von dir.

g1: {-2,-1,0,1,2} ->R

x -> 4