Zeigen Sie, dass [0,p(x)]ein einseitiger Konfidenzbereich für p zum Konfidenzniveau 1-a ist

Question

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Sei $X \sim \operatorname{Bin}(n, p)$ mit bekanntem $n \in \mathbb{N}$ und unbekanntem $p \in[0,1]$ und sei $\alpha \in(0,1)$ gegeben. Ferner definieren wir für alle $k \in\{0, \ldots, n\}$ die Zahl $p_{o}(k)$ als eindeutige Lösung der Gleichung $\sum \limits_{j=0}^{k}\left(\begin{array}{l}n \\ j\end{array}\right) p^{j}(1-p)^{n-j}=\alpha$ für $p$. Zeigen Sie, dass $\left[0, p_{o}(X)\right]$ ein einseitiger Konfidenzbereich für $p$ zum Konfidenzniveau $1-\alpha$ ist. (Tipp: Führen Sie die Menge $M:=\left\{k \in\{0,1, \ldots, n\}: p>p_{o}(k)\right\}$ ein.)
Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass für alle $k \in\{0, \ldots, n-1\}$ die Funktion $(0,1) \ni$ $p \mapsto \sum \limits_{j=0}^{k}\left(\begin{array}{c}n \\ j\end{array}\right) p^{j}(1-p)^{n-j}$ monoton fallend ist.