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Sei \( X \sim \operatorname{Bin}(n, p) \) mit bekanntem \( n \in \mathbb{N} \) und unbekanntem \( p \in[0,1] \) und sei \( \alpha \in(0,1) \) gegeben. Ferner definieren wir für alle \( k \in\{0, \ldots, n\} \) die Zahl \( p_{o}(k) \) als eindeutige Lösung der Gleichung \( \sum \limits_{j=0}^{k}\left(\begin{array}{l}n \\ j\end{array}\right) p^{j}(1-p)^{n-j}=\alpha \) für \( p \). Zeigen Sie, dass \( \left[0, p_{o}(X)\right] \) ein einseitiger Konfidenzbereich für \( p \) zum Konfidenzniveau \( 1-\alpha \) ist. (Tipp: Führen Sie die Menge \( M:=\left\{k \in\{0,1, \ldots, n\}: p>p_{o}(k)\right\} \) ein.)
Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass für alle \( k \in\{0, \ldots, n-1\} \) die Funktion \( (0,1) \ni \) \( p \mapsto \sum \limits_{j=0}^{k}\left(\begin{array}{c}n \\ j\end{array}\right) p^{j}(1-p)^{n-j} \) monoton fallend ist.
