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Sei XBin(n,p) X \sim \operatorname{Bin}(n, p) mit bekanntem nN n \in \mathbb{N} und unbekanntem p[0,1] p \in[0,1] und sei α(0,1) \alpha \in(0,1) gegeben. Ferner definieren wir für alle k{0,,n} k \in\{0, \ldots, n\} die Zahl po(k) p_{o}(k) als eindeutige Lösung der Gleichung j=0k(nj)pj(1p)nj=α \sum \limits_{j=0}^{k}\left(\begin{array}{l}n \\ j\end{array}\right) p^{j}(1-p)^{n-j}=\alpha für p p . Zeigen Sie, dass [0,po(X)] \left[0, p_{o}(X)\right] ein einseitiger Konfidenzbereich für p p zum Konfidenzniveau 1α 1-\alpha ist. (Tipp: Führen Sie die Menge M : ={k{0,1,,n} : p>po(k)} M:=\left\{k \in\{0,1, \ldots, n\}: p>p_{o}(k)\right\} ein.)
Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass für alle k{0,,n1} k \in\{0, \ldots, n-1\} die Funktion (0,1) (0,1) \ni pj=0k(nj)pj(1p)nj p \mapsto \sum \limits_{j=0}^{k}\left(\begin{array}{c}n \\ j\end{array}\right) p^{j}(1-p)^{n-j} monoton fallend ist.

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