Tupel und Basen in einer Darstellungsmatrix

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

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Sei \( \left.V:=\left\{\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y+z=0\right\}, \quad \) Sei \( f: V \rightarrow W \) die lineare Abbildung, die \( W:=\mathbb{R}^{2} \). Die folgenden Tupel \( B \) und \( B^{\prime} \) bzw. bezüglich der Basen \( B \) und \( C \) gegeben ist durch \( C \) und \( C^{\prime} \) sind jeweils geordnete Basen von \( V \) die Matrix bzw. \( W \) :
\( B:=\left(\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)\right) \quad C:=\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)\right) \quad C M_{B}(f)=\left(\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 3 & -2 \end{array}\right) . \)
\( B^{\prime}:=\left(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right), C^{\prime}:=\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array}\right)\right) \quad \begin{array}{l} \text { Welche Darstellung hat } f \text { bezüglich der Basen } \\ B^{\prime} \text { und } C^{\prime} ? \end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Leider verstehe ich nicht wie ich hier vorgehen soll. Hat jemand dazu einen konkreten Ansatz?

Answer 1

In der k-ten Spalte der Matrix stehen die Faktoren mit denen das Bild des

k-ten Basisvektors des Originalraumes mit der Basis im Zielraum dargestellt wird.

Also heißt das hier, wenn man die Basen C und B benutzt:

1. \(  f(\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)) =(-1) \cdot \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right)+3 \cdot \left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} -1 \\ 3 \end{array}\right)\)

2. \(  f(\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)) =1 \cdot \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right)+(-2) \cdot \left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ -2 \end{array}\right)\)

Nimmt man jetzt C' und B' , so muss man erst mal schauen, was

das Bild des ersten Basisvektors von C' ist, also

\(  f(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)) \) bestimmen. Dazu

muss ich den durch die Basis C darstellen, das ist

\(  \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)   = 1 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)+ 1 \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)\)

Da f eine lineare Abb. ist, gilt auch für die Bilder

\(  f(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)  )= 1 \cdot f(\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right))+ 1 \cdot f(\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right))\)

Mit dem Ergebnis von oben also

\(  f(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)  )= 1 \cdot \left(\begin{array}{c}  -1 \\ 3 \end{array}\right))+ 1 \cdot \left(\begin{array}{c}  1 \\ -2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}  0 \\ 1 \end{array}\right) \)

Dieses Ergebnis muss man noch mit den Basisvektoren von B' darstellen, das gibt

\( \left(\begin{array}{c}  0 \\ 1 \end{array}\right) = 2 \cdot \left(\begin{array}{c}  1 \\ 0 \end{array}\right) + 1 \cdot \left(\begin{array}{c}  -2 \\ 1 \end{array}\right) \)

Damit sind 2 und 1 die Zahlen in der ersten Spalte der gesuchten Matrix.

Also ist die so \( \left(\begin{array}{c}  2&? \\ 1&? \end{array}\right) \).

Das Ganze geht etwas einfacher, wenn ihr schon Basiswechselmatrizen kennt.

Comments

Hallo,

Ersteinmal vielen lieben Dank. Wir haben tatsächlich gerade den Basiswechsel allerdings verstehe ich den Basiswechsel nicht. Wir sollten hier mit Identitäten etc rechnen.

Lg

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Dann nimmst du die Basiswechselmatrix von C nach C', das wäre

X=_CM_C' = 1   2    und die von B nach B' also Y=  _BM_B' =  1   0
               0   1                                                                   -1   1

letztere musst du noch invertieren, denn du wechselst ja von B' nach B,

also gibt es für die gesuchte Matrix _CM_C' * _CM_B(f)*(_BM_B')^(-1)

=  2  -3
 1   -2