Aloha :)
Weil dein Leerer so gemein ist und in der Klausur Aufgaben stellt, die du vorher noch nie gesehen hast, antworte ich etwas ausführlicher...
Uns sind folgende Vektorräume gegenen:$$U\coloneqq\mathbb R^3\quad;\quad V\coloneqq\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\mathbb R^3\;\Bigg|\;x=4y+2z\right\}$$
zu a) \(U\) ist der gesamte \(\mathbb R^3\). Um zu zeigen, dass die Vektoren aus \(B\) und \(B'\) jeweils eine Basis von \(U\) bilden, brauchen wir nur zu zeigen, dass sie linear unabhängig sind. Das ist genau dann der Fall, wenn ihre Determinante \(\ne0\) ist:
$$\left|\begin{array}{rrr}10 & -5 & 2\\4 & -2 & 1\\-5 & 2 & -1\end{array}\right|\stackrel{{S_1+=2S_2}\atop{S_2+=2S_3}}{=}\left|\begin{array}{rrr}0 & -1 & 2\\0 & 0 & 1\\-1 & 0 & -1\end{array}\right|=1\quad;\quad\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right|=1\cdot1\cdot1=1$$Damit sind die folgenden beiden geordneten Tupel Basen von \(U\):$$B=\left(\,\left(\begin{array}{r}10\\4\\-5\end{array}\right),\left(\begin{array}{r}-5\\-2\\2\end{array}\right),\left(\begin{array}{r}2\\1\\-1\end{array}\right)\,\right)\quad;\quad B'=\left(\,\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{r}0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{r}0\\0\\1\end{array}\right)\,\right)$$
Der Vektorraum \(V\) ist 2-dimensional, weil wir nur 2 Koordinaten frei wählen können und die dritte Koordinate dann durch die Bestimmungsgleichung \((x=4y+2z)\) vorgegeben ist. Als Basis brauchen wir daher zwei linear unabhängige Vektoren. Bei zwei Vektoren kann man die lineare Unabhängigkeit immer leicht prüfen. Kann man den einen Vektor durch Multiplikation mit einer Konstanten in den anderen Vektor überführen, so sind die beiden Vektoren linear abhängig, andernfalls sind sie linear unabhängig. In beiden Tupeln \(C\) und \(C'\) scheitert die linerare Abhängigkeit schon an der \(y\)-Komponente des Vektor \((2;0;1)^T\). Daher sind die beiden Vektoren in \(C\) und in \(C'\) linear unabhängig.
Wir müssen aber noch zeigen, dass die aus den Basisvektoren linear kombinierten Vektoren tatsächlich die Bestimmungsgleichung von \(V\) erfüllen. Für \(C\) sieht das so aus:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\0,5\\1\end{pmatrix}\implies 4y+2z=4\cdot(0,5\mu)+2\cdot(\lambda+\mu)=2\lambda+4\mu=x\quad\checkmark$$und für \(C'\) sieht das so aus:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}-2\\-0,5\\0\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\implies4y+2z=4\cdot(-0,5\lambda)+2\cdot\mu=-2\lambda+2\mu=x\quad\checkmark$$Damit sind die folgenden beiden geordneten Tupel Basen von \(V\):$$C=\left(\,\left(\begin{array}{r}2\\0\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{r}4\\[0.5ex]\frac12\\[0.5ex]1\end{array}\right)\,\right)\quad;\quad C'=\left(\,\left(\begin{array}{r}-2\\[0.5ex]-\frac12\\[0.5ex]0\end{array}\right),\left(\begin{array}{r}2\\0\\1\end{array}\right)\,\right)$$
zu b) Nun haben wir eine Abbildung \(f\colon U\to V\) durch folgende Matrix gegeben:$${_C}M_B=\left(\begin{array}{rrr}9 & -5 & 2\\-5 & 3 & -1\end{array}\right)$$Sie erwartet rechts Eingangsvektoren, deren Komponenten bezüglich der Basis \(B\) angegeben sind und liefert links Ausgangsvektoren, deren Komponenten bezüglich der Basis \(C\) angegeben sind.
Gesucht ist nun die Abbildungsmatrix, die Eingangsvektoren bezüglich der Basis \(B'\) erwartet und Ausgangsvektoren bezüglich der Basis \(C'\) liefert:$${_{C'}}M_{B'}={_{C'\,}\mathbf{id}_C}\cdot{_C}M_B\cdot{_B}\mathbf{id}_{B'}$$Die Idee dahinter ist, dass wir die Vektoren durch Multiplikation mit der Basiswechselmatrix \({_B}\mathbf{id}_{B'}\) von \(B'\) nach \(B\) konvertieren, dann die bekannte Abbildungsmatrix \({_C}M_B\) darauf wirken lassen und deren Ergebnisvektoren durch Multiplikation mit der Basiswechselmatrix \({_{C'\,}\mathbf{id}_C}\) von der Basis \(C\) in die Basis \(C'\) transformieren.
Da \(B'\) die Standardbasis des \(\mathbb R^3\) ist und die Vektoren von \(B\) bezüglich dieser Standardbasis angegeben sind, kennen wir bereits die Basiswechselmatrix von \(B\) nach \(B'\):$${_{B'}}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}10 & -5 & 2\\4 & -2 & 1\\-5 & 2 & -1\end{array}\right)\quad\implies\quad {_B}\mathbf{id}_{B'}=\left({_{B'}}\mathbf{id}_B\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}0 & -1 & -1\\-1 & 0 & -2\\-2 & 5 & 0\end{array}\right)$$In die umgekherte Richtung, also von \(B'\) nach \(B\) geht es mit der inversen Matrix.
Die Basiswechselmatrix von \(C\) nach \(C'\) finden wir, indem wir die Basisvektoren in \(C\) durch diejenigen in \(C'\) ausdrücken:
$$\vec c_1=\left(\begin{array}{r}2\\0\\1\end{array}\right)=0\cdot\left(\begin{array}{r}-2\\-\frac12\\0\end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{r}2\\0\\1\end{array}\right)=0\cdot\vec c_1\,'+1\cdot\vec c_2\,'$$$$\vec c_2=\left(\begin{array}{r}4\\\frac12\\1\end{array}\right)=(-1)\cdot\left(\begin{array}{r}-2\\-\frac12\\0\end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{r}2\\0\\1\end{array}\right)=(-1)\cdot\vec c_1\,'+1\cdot\vec c_2\,'$$Damit haben wir die Übergangsmatrix von \(C\) nach \(C'\):$${_{C'\,}\mathbf{id}_C}=\left(\begin{array}{rr}0 & -1\\1 & 1\end{array}\right)$$
Wir bauen nun alles zur gesuchten Lösung zusammen:$${_{C'}}M_{B'}=\left(\begin{array}{rr}0 & -1\\1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}9 &-5 & 2\\-5 & 3 & -1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}0 & -1 & -1\\-1 & 0 & -2\\-2 & 5 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}1 &0 & 1\\0 & 1 & 0\end{array}\right)$$
