Berechnen Sie eine Permutationsmatrix P , eine normierte untere Dreiecksmatrix L und eine obere Dreiecksmatrix U , …

Question

Aufgabe:

Sei
\( A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 6 & 3 & 1 \\ 8 & 1 & 0 \end{array}\right) \)
(a) Berechnen Sie eine Permutationsmatrix \( P \), eine normierte untere Dreiecksmatrix \( L \) und eine obere Dreiecksmatrix \( U \), sodass \( A=P L U \). Geben Sie Ihren Rechenweg an.
(b) Lösen Sie die Gleichungssysteme
\( A x=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right), \quad \text { und } \quad A x=\left(\begin{array}{l} 5 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \)
mithilfe der PLU-Zerlegung. Geben Sie Ihren Rechenweg an.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine ahnung wie man diese Permutationsmatrix berechnet. Kann das wer erklaren oder ein Link schicken wie ich vorgehen soll. )

Answer 1

Du machst eine normale LR Zerlegung mit Spaltenpivotsuche

siehe https://www.geogebra.org/m/c94bmjuy

ich arbeite am liebsten auf einem Matrixfeld und erhalte

A:= {{2, 1, 1}, {6, 3, 1}, {8, 1, 0}}

b:={{1},{5},{7}}

P Zeilentauschmatrix

\(P\;L\;R= \left\{  \left(\begin{array}{rrr}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{array}\right)\;  \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\frac{3}{4}&1&0\\\frac{1}{4}&\frac{1}{3}&1\\\end{array}\right)\; \left(\begin{array}{rrr}8&1&0\\0&\frac{9}{4}&1\\0&0&\frac{2}{3}\\\end{array}\right) \right\} \)

A x = P L R x = b

===> R x = y /\ P L y = b ===> L y = P b ===> y ===> y ∈ R x = y