Geometrie in Innenprodukträume

Question

Aufgabe:

Sei V ein Innenproduktraum. Beweisen Sie die folgende Aussage.

∀x,y,z ∈ V : ||z-x||^2 + ||z-y||^2 = 1/2 ||x-y||^2 + 2||z-(x+y)/2||^2

Answer 1

Hallo Lena,

in einen Innenproduktraum ist das Skalarprodukt definiert. Damit gilt $$||a||^2 = \left< a,\,a\right> = a^2$$(je nach Schreibweise) nebst dem Distributivgesetz. Daher kann man das obige auflösen:$$\begin{aligned} ||z-x||^{2} + ||z-y||^{2} &=\frac12||x-y||^{2} + 2||z-\frac12(x+y)||^{2} \\ (z-x)^{2} + (z-y)^{2} &=\frac12(x-y)^{2} + 2\left(z-\frac12(x+y)\right)^{2} \\ z^2-2zx+x^2+z^2-2yz+y^2&= \frac12x^2-xy+\frac12y^2+2z^2-2(x+y)z + \frac12(x+y)^2\\ -2(x+y)z + x^2+y^2 &=\frac12x^2+\frac12y^2 -xy-2(x+y)z +\frac12 x^2 +xy + \frac12y^2 \\ x^2+y^2 &=\frac12x^2+\frac12y^2+\frac12 x^2+ \frac12y^2 \\ x^2+y^2 &=x^2+ y^2 \\&\checkmark\\ \end{aligned}$$Gruß Werner

Comments

Vielen vielen Dank Werner. Das war sehr sehr nett von dir :)