Zeigen, dass Verknüpfung wohldefiniert, assoziativ und kommutativ ist

Question

Frage:

Es sei (a,b) ~ (a', b') ⇔ ab' = a'b eine Äquivalenzrelation.

Zeigen Sie dass die Verknüpfung a:b * c:d = ac : bd auf ℚ wohldefiniert, assoziativ und kommutativ ist.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das zeigen ? Ich verstehe dass es so ist, kann das aber nicht beweisen und weiß auch nicht was die gegebene Äquivalenzrelation damit zu tun hat/wie ich die einbauen muss/kann

Comments

Weiss jemand vielleicht noch wie ich das assoziativ und kommutativ zeigen kann ?

Answer 1

Die (a:b) und (c:d) ∈ℚ sind ja wohl auch als Paare aus ℤxℤ

zu verstehen. Das "wohldefiniert" zeigst du dann dadurch, dass

für die Verknüpfung äquivalenter Paare auch äquivalente

Ergebnisse entstehen. Wenn du also hast

(a,b) ~ (a', b')  und   (c,d) ~ (c', d')

dann müssen auch die Ergebnisse

(a,b) * (c,d)  bzw a:b * c:d  und

(a',b') * (c',d')  bzw a':b' * c':d'   äquivalent sein,

Das kannst du einfach nachrechnen.