Man zeige, dass I genau dann prim ist, wenn A/I ein Integritätsbereich ist.

Question

Aufgabe:

Sei A ein Ring. Ein Ideal I ⊂ A heißt prim, falls I ungleich A und
folgender Eigenschaft gilt: Falls ab ∈ I, dann ist a ∈ I oder b ∈ I. Man zeige, dass
I genau dann prim ist, wenn A/I ein Integritätsbereich ist.

Zur Info: Ein Ring A heißt Integritätsbereich, falls A ungleich 0 und folgende Eigen-
schaft gilt: Falls ab = 0 in A, dann ist a = 0 oder b = 0.

Hey, ich hab hier so ziemliche Probleme bei der Aufgabe.

Mein Versuch bei der Rückrichtung:

Sei A/I ein Integritätsbereich, also aus (a+I)*(b+I) =0 folgt entweder (a+I)=0 oder (b+I)=0.

Angenommen (a+I)=0 (analog für (b+I)=0), dann gibt es ein i enthalten I mit a= -(i) enthalten I, da I als Ideal Untergruppe von (A,+) ist. Da (a+I) * (B+I) = (a*b)+I per Defintion ist, und a enthalten I ist, ist somit a*b enthalten I per Defintion des Ideals.

Ich hab das Gefühl das passt so nicht ganz, kann mir jemand helfen?

Answer 1

Hallo,

die Richtung, über die du geschrieben hast, würde ich so begründen:

Sei also \(A/I\) Integritätsbereich. Dann gilt:

\(ab\in I\Rightarrow I=ab+I=(a+I)(b+I)\). Da \(A/I\) nullteilerfrei ist, folgt:

\(a+I=I\;\vee \; b+I=I\), d.h. \(a\in I\; \vee \; b\in I\).

Comments

Vielen Dank!

Hast du eine Idee, wie ich die "Hinrichtung" zeigen kann?

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Nun die "Hinrichtung":

Sei \(I\) ein Primideal und \((a+I)(b+I)=ab+I=I\).

Dann gilt \(ab\in I\), folglich \(a\in I\) oder \(b\in I\),

also \(a+I=I\) oder \(b+I=I\).