Parallele Gerade zur Ebene mit Abstand 4 angeben

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen.

Ich habe ein frage bezüglich Abstandsberechnung: Und zwar, wie kann ich mit einer gegebenen Ebene E:

mit E: (1,2,1)+s*(0,1,1)+t*(1,1,1) und Hesse Normalform: E: 1/sqrt(2) [y-z] = 1/sqrt(2) eine parallele Gerade g_t angeben, die den Abstand 4 besitzt?

Kann mir einer sagen wie ich da am besten vorgehe? Bitte auch so das ich es nachvollziehen kann.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war es, die Ebene und die Gerade, in die Formel für Abstandberechnung einzugeben und dann einfach dahinter eine 4 zu schreiben, leider komme ich da dann immer auf 0, ist auch klar, weil den Punkt den ich angebe liegt ja auf der Ebene, und ich weiß nicht wie ich die Gerade aus der Ebene rausziehe so das sie den Abstand 4 hat.

Comments

Mein Ansatz war es, die Ebene und die Gerade, in die Formel für Abstandberechnung einzugeben und dann einfach dahinter eine 4 zu schreiben, ...

Die Grundidee mag nicht verkehrt sein, aber die Lösung wäre im besten Fall keine Gerade sondern zwei Ebenen gewesen. Diese Formelei verstellt nur den Blick auf das Wesentliche. Im Grunde brauchst Du für die gesamte Vektorrechnung nur den Satz des Pythagoras und das Wissen über das Skalarprodukt.

Besser: fertige jedes Mal eine Skizze an!

Answer 1

Nimm einen Punkt der Ebene und addiere zu diesem einen

Normalenvektor der Ebene, der die Länge 4 hat.

Dann hast du schon mal einen Punkt im Abstand 4 zur

Ebene. Kannst du mit der Abstandformel prüfen.

Dann ergänze den Punkt zu einer Geraden indem du einen

Richtungsvektor parallel zu E dranhängst, z.B. einender

Spannvektoren der Ebene.

Comments

Ich verstehe das nicht ganz, also das mit den Spannvektoren weiß ich, aber den ersten Teil hab ich nicht verstanden.

Also ich nehme mir den Aufpunkt der Ebene und addiere an den dann meinen Normalenvektor dran.

Und das mit der 4 hab ich nicht ganz verstanden.

Können sie mir das bitte rechnerisch zeigen? Ohne den beweis mit der Formel, das kann ich dann im nachhinein machen.

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Ein Normalenvektor ist ja z.B.

\(  \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix}  \)

Der hat die Länge √2 Also muss man ihn mit 2√2

multiplizieren um auf die Länge 4 zu kommen, das gibt

\(  \begin{pmatrix} 0\\2√2\\-2√2 \end{pmatrix}  \)

Und den zum Aufpunkt der Ebene addieren gibt

den Punkt mit dem Ortsvektor  \(  \begin{pmatrix} 1\\2+2√2\\1-2√2 \end{pmatrix}  \)

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@meayme00: IMHO trägt es viel zum Verständnis bei, wenn man sich das ganze geometrisch veranschaulicht.

Unten siehst Du die Ebene \(E\) mit den beiden Spannvektoren \(s\) und \(t\) und dem Normalenvektor \(n\) (rot) mit der Länge \(1\).

Wenn man zu einem Punkt der Ebene das 4-fache des Normalenvektors addiert, kommt man zu einem Punkt, der die gewünschte Entfernung von \(E\) hat. Wählt man diesen als Aufpunkt einer Geraden und einen der Spannvektoren als Richtungsvektor (blau), so erhält man eine Gerade \(g\) parallel zu \(E\) im Abstand \(4\).

Klick auf das Bild, dann öffnet sich Geoknecht3D und Du kannst die Szene mit der Maus rotieren und bekommst so einen guten räumlichen Eindruck.