Aloha :)
Wir untersuchen die Funktion:$$f(x)=x^3-\frac14x^2-\frac{25}{8}x-\frac34$$Kandidaten für Extremwerte sind dort zu finden, wo die erste Ableitung verschwindet:
$$f'(x)=3x^2-\frac12x-\frac{25}{8}\stackrel!=0\implies x^2-\frac16x-\frac{25}{24}=0$$Mit der pq-Formel erhalten wir zwei Kandidaten:$$x_{1;2}=\frac{1}{12}\pm\sqrt{\frac{1}{144}+\frac{25}{24}}=\frac{1}{12}\pm\sqrt{\frac{1}{144}+\frac{150}{144}}=\frac{1\pm\sqrt{151}}{12}$$
Wir prüfen die beiden Kandidaten mit Hilfe der zweiten Ableitung:$$f''(x)=6x-\frac12$$$$f''\left(\frac{1-\sqrt{151}}{12}\right)=-\frac{\sqrt{151}}{2}<0\implies\quad\text{Maximum bei }x_1=\frac{1-\sqrt{151}}{12}$$$$f''\left(\frac{1-\sqrt{151}}{12}\right)=+\frac{\sqrt{151}}{2}>0\implies\quad\text{Minimum bei }x_2=\frac{1+\sqrt{151}}{12}$$
Da uns der Aufgensteller die Nullstelle bei \(x=2\) verraten hat, wissen wir, dass wir den Funktionsterm von \(f(x)\) durch \((x-2)\) dividieren können:$$f(x)=x^3-\frac14x^2-\frac{25}{8}x-\frac34=x^3\,\overbrace{-2x^2+\frac74x^2}^{=-\frac14x^2}\,\overbrace{-\frac{28}{8}x+\frac{3}{8}x}^{=-\frac{25}{8}x}\,-\frac34$$$$\phantom{f(x)}=\left(x^3-2x^2\right)+\left(\frac74x^2-\frac{14}{4}x\right)+\left(\frac38x-\frac68\right)$$$$\phantom{f(x)}=x^2(x-2)+\frac74x(x-2)+\frac38(x-2)$$$$\phantom{f(x)}=\left(x^2+\frac74x+\frac38\right)(x-2)=\frac18(8x^2+14x+3)(x-2)$$$$\phantom{f(x)}=\frac18(4x\cdot2x+2x+12x+3)(x-2)=\frac18(4x+1)(2x+3)(x-2)$$
Es gibt also insgesamt drei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse:$$N_1\left(-\frac14\bigg|0\right)\quad;\quad N_2\left(-\frac32\bigg|0\right)\quad;\quad N_3(2|0)$$
Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse folgt durch Einsetzen von \(x=0\) in \(f(x)\):$$f(0)=-\frac34\quad\implies\quad Y\left(0\bigg|-\frac34\right)$$
~plot~ x^3-x^2/4-25x/8-3/4 ; {-0,94|1,136} ; {1,107|-3,159} ; {0|-3/4} ; {-1/4|0} ; {-3/2|0} ; {2|0} ; [[-2|3|-4|2]] ~plot~
