Wie ist die Formel für den Zusammenhang zwischen Ihrer Messgenauigkeit und dem Volumen?

Question

Aufgabe:

Ihre Chefin hat Sie gebeten, das Volumen des Getreidesilos auf dem Hof auszumessen, und zwar auf 1m3 genau. Das zylindrische Silo ist ungefähr 15 m hoch und hat einen Durchmesser von ca. 8 m.

a) Wie ist die Formel für den Zusammenhang zwischen Ihrer Messgenauigkeit und dem Volumen?

b) Wie genau muss Ihr Messgerät sein, damit der Fehler im Resultat klein genug bleibt?

Answer 1

Hallo :-)

Die beiden Werte \(15m\) und \(8m\) scheinen wohl die gemessenen Werte der Höhe bzw. vom Durchmesser zu sein. Nun sei \(\epsilon\) der Messfehler. Dann sind jeweils \(15m=h+\epsilon\) und \(8m=d+\epsilon\), wobei \(h\) und \(d\) die wahren Werte des Silos sind.

Das wahre Volumen ist dann

$$ V(h,d)=\pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2\cdot h=\pi \cdot \left(\frac{8m-\epsilon}{2}\right)^2\cdot (15m-\epsilon) $$

und das gemessene Volumen

$$ V':=\pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2\cdot h=\pi \cdot \left(\frac{8m}{2}\right)^2\cdot 15m=240\cdot \pi m^3 $$

Den absoluten Messfehler bekomme ich nun durch

$$ \begin{aligned}|V(h,d)-V'|&=\left|\pi \cdot \left(\frac{8m-\epsilon}{2}\right)^2\cdot (15m-\epsilon)-240\cdot \pi m^3\right|\\&=\pi \cdot \left|\left(\frac{8m-\epsilon}{2}\right)^2\cdot (15m-\epsilon)-240 m^3\right|\\&\stackrel{(*)}{<}\pi\cdot |76\cdot \epsilon|\\&=76\cdot \pi \cdot \epsilon <250\cdot \epsilon \stackrel{!}{<}1m^3\\&\Rightarrow \epsilon <0.004m^3\end{aligned}$$

(*) Ich gehe davon aus, dass der Messfehler klein ist und ich den inneren Ausdruck von daher durch ein Taylorpolynom 1.Ordnung (linear) nachoben abschätze. Und das lässt sich leichter lösen, als einem kubischen Term.

Answer 2

Du musst olgendes Berechnen,

wenn \( V(r,h) = r^2 \pi h \) das Volumen des Zylinders beschreibt.

Taylorentwicklung 1'-ten Grades ergibt

$$ V(r+\Delta r, h + \Delta h) - V(r,h) \approx \frac{\partial V}{\partial r}(r,h) \Delta r + \frac{\partial V}{\partial h}(r,h) \Delta h = \pi \left( r^2 \Delta h + 2 r h \ \Delta h \right)  < 1 $$ Wenn wir annehmen das \( \Delta r = \Delta h = \Delta \) gilt, folgt

$$ \Delta < \frac{1}{ \pi ( r^2 + 2 r h ) } $$ Einsetzen von \( r = 4 \) und \( h = 13 \) ergibt das Resultat.