Welcher Zusammenhang gilt zwischen das Differenzieren und Integrieren?

Question

Gegeben sei eine Funktion f mit

f(x) = x²

Jetzt bilde ich zwei Ableitungen und eine Stammfunktion.

f(x) = x²

f'(x) = 2x

f''(x) = 2

F(x) = 1/3*x³ + C

Es gilt ja F'(x) = f(x) also

F(x) = 1/3*x³ + C

F'(x) = 3*1/3*x² = x² = f(x)

Jetzt meine Frage. Wie komme ich wieder von f''(x) auf f'(x) und von f'(x) auf f(x)?

Gibt es dazu auch ein Zusammenhang wie F'(x) = f(x)?

Danke.

Answer 1

Ja, einfach f''(x) integrieren um auf f'(x) zu kommen und nochmal um auf f(x).

Wenn du die Funktionsgleichung nicht kennen würdest bei zB. f''(x) = 3x + 2

wird dann daraus

f'(x) = 1.5x^2 + 2x + c

f(x) = 1.5/3x^3 + x^2 + cx + d

Comments

Okay, dies war mir auch bekannt. Die Frage ist wie stelle ich das rechnerisch da also wie F'(x) = f(x)?

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\( \int\) f''(x)dx = f'(x)

bzw.

\(\int\) f'(x) dx = f(x)

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Genau diese Schreibweise habe ich gesucht.

Noch eine Frage.

Was würde passieren, wenn ich beide Ausdrücke ableiten würde(beide Seiten)?

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Meinst du

\( \frac{d}{dx} \)f'(x) = f''(x)

bzw.

\( \frac{d}{dx} \)f(x) = f'(x)

?

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Ich meinte das mit dem Integral. Was würde passieren wenn ich beide Seiten ableiten würde? Ich meine würde ich die Produktregel integrieren, hätte ich ja die Formel für die partiellen Integration.

Daher :

∫ f'(x) dx = f(x) + C I ()'

Answer 2

der Hauptsatz der Integralrechnung verbindet integrieren und Ableitung:

$$\int_{x_0}^{x} f'(t)dt=f(x)-f(x_0)$$