Basiswechselmatrix angeben im R3

Question

Aufgabe:

Es seien \( \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} \) linear unabhängige Vektoren im \( \mathbb{R}^{3} \). Geben Sie die Matrix an, die den Basiswechsel \( \operatorname{von}\left(\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\right) \) nach \( \left(\vec{b}_{1}+\vec{b}_{3}, \vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}, \vec{b}_{2}\right) \) beschreibt (Basiswechselmatrix).

Problem/Ansatz:

Hallo ihr lieben, ich soll eine Matrix angeben, die den Basiswechsel beschreibt. Leider hilft mir das Internet nicht wirklich weiter bzw. lassen sich die Probleme nicht auf meine Aufgabe übertragen. Ich hätte mir erstmal drei Vektoren aufgeschrieben:
\( b_{1}\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right), b_{2}\left(\begin{array}{l} d \\ e \\ f \end{array}\right), b_{3}\left(\begin{array}{l} g \\ h \\ i \end{array}\right) \)

Aber wie geh ich weiter vor?

Answer 1

Aloha :)

Du musst die neuen Basisvektoren durch die alten Basisvektoren ausdrücken.$$\begin{pmatrix}\vec b_1+\vec b_3\\\vec b_1-\vec b_2\\\vec b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\vec b_1+\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\vec b_2+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\vec b_3=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\1 & -1 & 0\\0 & 1 & 0\end{array}\right)\begin{pmatrix}\vec b_1\\\vec b_2\\\vec b_3\end{pmatrix}$$Und schon steht sie da in ihrer vollen Pracht, die Basiswechselmatrix ;)

Ich habe gerade gesehen, dass die Basiswechselmatrix in die andere Richtung gesucht ist, also brauchen wir noch eine Invertierung:$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\1 & -1 & 0\\0 & 1 & 0\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\\1 & -1 & -1\end{array}\right)$$

Comments

Danke dir! Du hast mir super geholfen :)