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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Da die Sinus-Funktion ihre Nullstellen bei ganzzahligen Vielfachen von \(\pi\) hat und wir uns "irgendwie" um den Betrag kümmern müssen, zerlegen wir das Integral in unendlich viele Intervalle der Länge \(\pi\):$$I=\int\limits_0^\infty\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|\,dx=\sum\limits_{n=0}^\infty\int\limits_{n\pi}^{(n+1)\pi}\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|\,dx>\sum\limits_{n=0}^\infty\int\limits_{n\pi}^{(n+1)\pi}\left|\frac{\sin(x)}{(n+1)\pi}\right|\,dx$$
Zur Abschätzung der einzelnen Integrale haben wir die Brüche möglichst klein gewählt, indem wir für \(x\) den größtmöglichen Wert eingesetzt haben. Als nächstes bestimmen wir die Integrale. Wegen der Periodizät der Sinus-Funktion werden alle Integrale betragsmäßig gleich groß sein. Zur Berechnung lassen wir die von \(x\)-unabhängigen Nenner weg:$$\int\limits_{n\pi}^{(n+1)\pi}\!\!\!\!|\sin(x)|dx=\!\!\!\!\int\limits_{n\pi}^{(n+1)\pi}\!\!\!\!(-1)^n\sin(x)dx=(-1)^n\left[-\cos(x)\right]_{n\pi}^{(n+1)\pi}$$$$\qquad=(-1)^n\cdot\left((-1)^n-(-1)^{n+1}\right)=(-1)^n\cdot((-1)^n+(-1)^n)=2\cdot(-1)^{2n}=2$$
Damit können wir die Integrale in unserer bisherigen Abschätzung ersetzen:$$I>\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+1)\pi}\int\limits_{n\pi}^{(n+1)\pi}\left|\sin(x)\right|\,dx=\frac2\pi\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n+1}=\frac2\pi\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\to\infty$$Dass die harmonische Reihe divergiert, ist sicherlich bekannt ;)
