Untersuchung einer Kurvenschar

Question

Aufgabe: gegeben ist die Kurvenschar da (x) = x² - ax - 3/4a²

Problem/Ansatz:

a) welche Kurve der Schar fa  wie hat an der Stelle x=2 ein lokales Maximum?

b) welche Kurve der Schar fa hat genau eine Nullstelle?

c) wie lautet die Gleichung der Tangente ta in der Nullstelle bei x= 3/2 a?

d) berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, die von F 1,5 und den Koordinatenachsen im vierten Quadranoten eingeschlossen wird.

Comments

Hallo, was bereitet dir an dieser Aufgabe Schwierigkeiten, Bestimmung der Extremstellen, Bestimmung des Scheitelpunktes/der Extremstelle, Tangentengleichung, Integral?

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um ehrlich zu sein alles …

ich weiß nie wie ich anfangen soll/ Ansätze finden

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Ist das die Funktionsgleichung:

\(f(x)=x^2-ax-\frac{3}{4}a^2\)

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ja, genau das ist die funktion

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a) welche Kurve der Schar fa wie hat an der Stelle x=2 ein lokales Maximum?
Stelle mit Extremwert
a = 4

Diese ist allerdings ein Minimum.

Answer 1

Ok, dann ist

\(f'(x)=2x-a\)

Du weißt, dass die notwendige Bedingung für eine Extremstelle lautet f'(x) = 0.

Setze also 2x - a = 0 und löse nach x auf. Die Lösung wird "a" enthalten, behandle es als eine Zahl.

Kommst du damit weiter?

Comments

also die lösung ist dann a/2

und wie mache ich dann weiter?

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Entschuldige, ich war auf dem falschen Dampfer. Du sollst in der Aufgabenstellung a bestimmen, also erhältst du mit

\(f'(2)=0\\ 2\cdot 2-a=0\\ 4=a\)

Somit hat die Funktion \(f(x)=x^2-4x-12\) bei x = 2 ihren Scheitelpunkt = Minimum.

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okey, verstanden.

und wie geht es dann weiter?

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Die Nullstellen der Parabel sind

\(x^2-ax-\frac{3}{4}a^2=0\\ x_{1,2}=0,5a\pm\sqrt{(0,5a)^2+\frac{3}{4}a^2}\\ x_{1,2}=0,5a\pm \sqrt{a^2}\)

Eine Nullstelle existiert nur, wenn der Term unter der Wurzel = 0 ist.

Daraus folgt a = 0

c) wie lautet die Gleichung der Tangente ta in der Nullstelle bei x= 3/2 a?

P(1,5a(f(1,5a))

Berechne f(1,5a) = y-Koordinate des Punktes und f'(1,5) = Steigung der Tangente

\(f(1,5a)=(1,5a)^2-1,5a^2-0,75a^2=2,25a^2-1,5a^2-0,75a^2=0\\ f'(1,5a)=2\cdot 1,5a-a=2a \)

Also weißt du, dass die Tangente so aussieht: \(\\t(x)=2ax+n\)

Um n zu berechnen, setzt du die Koordinaten von P in diese Gleichung ein.

\( 0=2a\cdot 1,5a+n\Rightarrow n = -3a^2\)

Damit lautet die Gleichung der Tangente \(t(x)=2ax-3a^2\)

d) berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, die von F 1,5 und den Koordinatenachsen im vierten Quadranoten eingeschlossen wird.

Mit F 1,5 kann ich nichts anfangen.

Answer 2

d) berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, die von F 1,5 und den Koordinatenachsen im vierten Quadranten eingeschlossen wird.

Ich verstehe es so, dass a=1,5 ist.

f_a(x) = \( x^{2} \) - a*x - \( \frac{3}{4} \) \( a^{2} \)

f_1,5(x) = \( x^{2} \) - 1,5*x - \( \frac{3}{4} \) *2,25= \( x^{2} \) - 1,5*x - \( \frac{31}{16} \)

Nullstellen:

\( x^{2} \) - 1,5*x - \( \frac{31}{16} \)=0

x₁≈-0,83

x₂≈2,33 Diese Nullstelle muss als Begrenzung gewählt werden (4. Quadrant).

\( A=\int \limits_{0}^{2,33}\left(x^{2}-1,5 x-\frac{31}{16}\right) \cdot d x=\left[\frac{1}{3} x^{3}-\frac{3}{4} x^{2}-\frac{31}{16} x\right]_{0}^{2,33}=\left[\frac{1}{3} \cdot 2,33^{3}-\frac{3}{4} \cdot 2,33^{2}-\frac{31}{16} \cdot 2,33\right]-0 \approx-4,4 \)
\( A \approx|-4,4| F E=4,4 F E \)