Fakultäten Berechnen Sie die folgende Determinante

Question

Aufgabe:

Sei k ∈ N. Berechnen Sie die folgende Determinante

\( \begin{pmatrix} 1/2! & 1/3! & 1/4! & ... & 1/(2k-2)!  \\ 1 & 1/2! & 1/3! & ... & 1/(2k+1)! \\  0 & 1 & 1/2! & ... & 1/(2k)! \\ ... & ... & ... & ... & ... \\  0 & ... & 0 & 1 & 1/2!  \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Hier komm ich nicht zurecht wie soll man das den lösen.

Korrigierte Version:

Titel: Berechnen Sie die folgende

Stichworte: gleichungen,vollständige-induktion,beweise,determinante

Aufgabe:

Sei k ∈ N. Berechnen Sie die folgende
Determinante

\( \begin{pmatrix} 1/2! & 1/3! & 1/4! & ... & 1/(2k+2)! \\ 1 & 1/2! & 1/3! & ... & 1/(2k+1)! \\ 0 & 1 & 1/2! & ... & 1/(2k)! \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & 0 & 1 & 1/2! \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß hier leider nicht wie ich die Determinante lösen soll.

Comments

Das letzte Element in der 2-ten Zeile soll wohl
eher 1/(2k-1)! heißen, oder ?

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Ne in der ersten Zeile sollte1/(2k+2)! Sein. Sorry

Answer 1

Vom Duplikat:

Titel: Berechnen Sie die folgende

Stichworte: gleichungen,vollständige-induktion,beweise,determinante

Aufgabe:

Sei k ∈ N. Berechnen Sie die folgende
Determinante

\( \begin{pmatrix} 1/2! & 1/3! & 1/4! & ... & 1/(2k+2)! \\ 1 & 1/2! & 1/3! & ... & 1/(2k+1)! \\ 0 & 1 & 1/2! & ... & 1/(2k)! \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & 0 & 1 & 1/2! \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß hier leider nicht wie ich die Determinante lösen soll.

Comments

Du kennst den Entwicklungssatz?

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Ja aber ich weiß nicht ob es was bring wenn ich den bei der Determinante anwenden ich weiß ja nicht wie groß die Matrix ist

Answer 2

Ich berechne erst die Determinante einer 2×2-Matrix, dann die Determinante einer 3×3-Matrix und so weiter, bis ich ein Muster erkenne.

Comments

Wie sieht denn hier die 2×2-Matrix aus?

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\( \begin{pmatrix} \frac{1}{2!} & \frac{1}{3!} \\ 1 & \frac{1}{2!} \end{pmatrix} \)

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Müsste der letzte Eintrag in der ersten Zeile nicht immer der Kehrwert der Fakultät einer geraden Zahl sein?

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Nein? Für welches k∈ℕ gilt denn 2k+2=3 ?

Answer 3

Für k=1 und k=2 hat die Determinante den Wert 0.
Ich vermute, dass dies auch für höhere k gilt.

Entwicklungssatz und vollständige Induktion sollten
zum Ziel führen.