Auf Konvergenz untersuchen / Grenzwert herausfinden:

Question

Aufgabe:

Relativ simple Aufgabe, doch ich komm an einer Stelle nicht weiter.

Auf Konvergenz untersuchen / Grenzwert herausfinden:

√k²+12k+1  -k ("-k ist nicht in der Wurzel, ich weiß leider nicht wie man das hier in einer Wurzel schreiben kann)

Problem/Ansatz:

Komme am Ende auf:

12k+1/√k²+12k+1  +k ("+k ist nicht in der wurzel"

Jedoch weiß ich nicht wie man richtig umformt. Im Zähler kann man k ausklammern aber wie würde das im Nenner aussehen?

Comments

Im Nenner klammerste Du auch k aus, beachte

$$\sqrt{k^2+x}=k \sqrt{1+\frac{x}{k^2}}$$

Answer 1

Aloha :)

Erweitere geschickt und nutze die dritte binomische Formel:

$$a_k=\sqrt{k^2+12k+1}-k=\frac{(\overbrace{\sqrt{k^2+12k+1}}^{=a}-\overbrace{k}^{=b})\cdot(\overbrace{\sqrt{k^2+12k+1}}^{=a}+\overbrace{k}^{=b})}{\sqrt{k^2+12k+1}+k}$$$$\phantom{a_k}=\frac{\overbrace{(k^2+12k+1)}^{=a^2}-\overbrace{k^2}^{=b^2}}{\sqrt{k^2+12k+1}+k}=\frac{12k+1}{\sqrt{k^2+12k+1}+k}=\frac{\frac1k\left(12k+1\right)}{\frac1k\left(\sqrt{k^2+12k+1}+k\right)}$$$$\phantom{a_k}=\frac{12+\frac1k}{\sqrt{1+\frac{12}{k}+\frac{1}{k^2}}+1}\to\frac{12}{\sqrt1+1}=6$$