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ich möchte die Folge \( \sqrt{n^4 + an^3} \) - n2 auf Konvergenz untersuchen.

Ich habe folgende Termumformungen bereits vorgenommen:

\( \sqrt{n^4 + an^3} \) - n2 * \( \frac{\sqrt{n^4 + an^3} + n^2}{\sqrt{n^4 + an^3} + n^2} \) (dritte bin. Formel anwenden)

$$=  \frac{n^4 + an^3 - n^4}{\sqrt{n^4 + an^3} + n^2} $$

$$ =  \frac{an^3}{\sqrt{n^4 + an^3} + n^2} $$

$$ =  \frac{an^3}{\sqrt{n^4 * (1 + \frac{a}{n})}+ n^2} $$

$$=  \frac{an^3}{\sqrt{n^4} * \sqrt{1 + \frac{a}{n}} + n^2} $$

$$ =  \frac{an^3}{n^2 * \sqrt{1 + \frac{a}{n}}+ n^2} $$

$$=  \frac{an}{\sqrt{1 + \frac{a}{n}}+ n^2} $$

Hier weiß ich nicht mehr weiter, wie ich weiter umformen kann. Oder kann ich hier bereits einen Grenzwert ablesen?

Danke schon mal im Voraus,

MfG

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Übergang von der zweitletzten zur letzten Zeile kontrollieren.

Mit n^2 kürzen bedeutet auch, dass aus +n^2 neu +1 wird im Nenner.

Also \( \frac{an}{\sqrt{1 + \frac{a}{n}}+ 1} \) ?

Richtig. So war das gemeint.

2 Antworten

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nach der Korrektur von TR bleibt zuletzt stehen

a*n/(sqrt(1+a/n)+1)

Hier kannst du das Grenzwert verhalten ablesen, der Nenner strebt gegen 2 und der Zähler divergiert gegen unendlich, also divergiert alles gegen unendlich, wobei das Vorzeichen von a bestimmt ob gegen + oder - unendlich. Wenn a=0 ist, dann existiert der Grenzwert 0.

Avatar von 37 k
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$$ 0 < \frac{an}{\sqrt{1 + \frac{a}{n}}+n^2} < \frac{an}{n^2} = \frac{a}{n} \overset{n \to \infty}{\to} 0 $$

Mit "Sandwich-Theorem" geht die Folge gegen 0

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