Folge√(n^4 + an^3) - n^2 auf Konvergenz untersuchen und Grenzwert angeben?

Question

ich möchte die Folge \( \sqrt{n^4 + an^3} \) - n² auf Konvergenz untersuchen.

Ich habe folgende Termumformungen bereits vorgenommen:

\( \sqrt{n^4 + an^3} \) - n² * \( \frac{\sqrt{n^4 + an^3} + n^2}{\sqrt{n^4 + an^3} + n^2} \) (dritte bin. Formel anwenden)

$$=  \frac{n^4 + an^3 - n^4}{\sqrt{n^4 + an^3} + n^2} $$

$$ =  \frac{an^3}{\sqrt{n^4 + an^3} + n^2} $$

$$ =  \frac{an^3}{\sqrt{n^4 * (1 + \frac{a}{n})}+ n^2} $$

$$=  \frac{an^3}{\sqrt{n^4} * \sqrt{1 + \frac{a}{n}} + n^2} $$

$$ =  \frac{an^3}{n^2 * \sqrt{1 + \frac{a}{n}}+ n^2} $$

$$=  \frac{an}{\sqrt{1 + \frac{a}{n}}+ n^2} $$

Hier weiß ich nicht mehr weiter, wie ich weiter umformen kann. Oder kann ich hier bereits einen Grenzwert ablesen?

Danke schon mal im Voraus,

MfG

Comments

Übergang von der zweitletzten zur letzten Zeile kontrollieren.

Mit n^2 kürzen bedeutet auch, dass aus +n^2 neu +1 wird im Nenner.

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Also \( \frac{an}{\sqrt{1 + \frac{a}{n}}+ 1} \) ?

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Richtig. So war das gemeint.

Answer 1

nach der Korrektur von TR bleibt zuletzt stehen

a*n/(sqrt(1+a/n)+1)

Hier kannst du das Grenzwert verhalten ablesen, der Nenner strebt gegen 2 und der Zähler divergiert gegen unendlich, also divergiert alles gegen unendlich, wobei das Vorzeichen von a bestimmt ob gegen + oder - unendlich. Wenn a=0 ist, dann existiert der Grenzwert 0.

Answer 2

$$ 0 < \frac{an}{\sqrt{1 + \frac{a}{n}}+n^2} < \frac{an}{n^2} = \frac{a}{n} \overset{n \to \infty}{\to} 0 $$

Mit "Sandwich-Theorem" geht die Folge gegen 0