Binomialverteilung, Bernoulli-Experimente mit Binomialkoeffizienten auflösen, wie geht das

Question

Aufgabe:

Wir führen n unabhängige Bernoulli-Experimente durch, jedes mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Im folgenden sollen Binomialkoeffizienten aufgelöst werden.
(a) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur Misserfolge auftreten?
(b) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Erfolg auftritt?
(c) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein Erfolg auftritt? Begründe deine Antwort.
(d) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Misserfolge auftreten? Begründe deine
Antwort.

Problem/Ansatz:

 Ω= {(0,1),(1,0),(1,1),(0,0)}

1 für Erfolg

0 für Misserfolg

Erfolgswahrscheinlichkeit = p

a)

P("nur Misserfolge") = P(X=k)=(n über k)⋅p^k⋅(1−p)^n−k

für alle k = 0,1,..,n

P({(0,0)})= P (X=1) = (1 über 1)*0.5^1 * (1-1)^(1-1)

b)

P("mind. 1 Erfolg")=

--weiß nicht wie ich die gegenwahrscheinlichkeit "alles erfolge mit wahrscheinlickeit für 1 misserfolg" implementieren kann (falls das überhaupt die aufgabe ist ka)

habe bisher P(x=0)+P(x>1)=100%

c)

P("höhstens ein Erfolg")=

--weiß nicht wie ich die gegenwahrscheinlichkeit "alles erfolge und ein misserfolg" einbauen kann

d)

P("mind. 2 Misserfolge")=P(x>2) = 1-P(x<=k-1)=...

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wie kann ich die binomialkoeffizienten auflösen im zusammenhand mit den jeweiligen aufgaben?

Ob meine bisherigen Anzätze richtig sind weiß ich nicht, da die Aufgabenstellung sehr verwirrend ist, da man keine konkreten Werte für n und p geben soll sondern halt die formeln bilden soll denke ich mal. Jeder tritt in die richtige richtung ist sehr wertgeschätzt, danke im voraus

Answer 1

p= WKT des Erfolgs, 1-p = WKT des Misserfolgs

a) P(X=0)= (1-p)^n

b) P(X>=1)= 1-P(X=0) = 1-(1-p)^n

c) P(X<=1) = P(X=0)+P(X=1) = (1-p)^n +n*p*(1-p)^(n-1)

d) P(X>=2) = 1-P(X<=1) = p^n+ n*(1-p)*p^(n-1)