Wie lang ist die Seite des Quadrats?

Question

Werden zwei parallele Seiten eines Quadrats um je 12 cm verlängert, so entsteht ein
Rechteck, dessen Diagonale 5-mal so lang ist wie die Quadratdiagonale. Wie lang ist die
Seite des Quadrats?

Answer 1

Aloha :)

Die Seitenlänge des Quadrates sei \(a\). Die Diagonale des Quadrates ist nach Pythagoras:$$d_Q=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}$$Die Diagonale des daraus gebauten Rechtecks ist:$$d_R=\sqrt{(a+12)^2+a^2}=\sqrt{2a^2+24a+144}$$Die Diagonale des Rechtecks ist 5-mal länger als die des Quadrates:$$\left.d_R=5\cdot d_Q\quad\right|\text{quadrieren}$$$$\left.d^2_R=25\cdot d^2_Q\quad\right|\text{Ergebnisse von oben einsetzen}$$$$\left.2a^2+24a+144=25\cdot2a^2\quad\right|\text{alle Terme auf eine Seite bringen}$$$$\left.48a^2-24a-144=0\quad\right|\colon48$$$$\left.a^2-\frac12a-3=0\quad\right|\text{faktorisieren}$$$$\left(a+\frac32\right)(a-2)=0$$Da wir eine positive Lösung brauchen, kommt nur \(a=2\) infrage.

Comments

in der Lösung steht a=2

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Ich hatte einen Rechenfehler... habe ich gerade korrigiert.

Answer 2

Hallo,

sei die Seitenlänge des Quadrates a, dann ist die Länge der Diagonale des Quadrates \(d=\sqrt{2a^2}\), die Länge Diagonalen des Rechtecks \(d=\sqrt{2a^2}\\e=\sqrt{(a+12)^2+a^2}\).

Die Gleichung lautet also

\(5\cdot\sqrt{2a^2}=\sqrt{(a+12)^2+a^2}\)

Jetzt "nur noch" nach x auflösen.

Gruß, Silvia