maximalen Inhalt, den ein Dreieck annehmen kann berechnen: f(x)=10x*e^-x^2

Question

Könnte mir jemand helfen.. Schreibe morgen eine klausur und verstehe die aufgabe nicht.. Ich weiß, dass ich den hochpunkt berechnen muss aber ich verstehe nicht wie..

gegebn ist ist die funktion f durch f(x)=10x*e^-x^2

durch den Ursprung 0,einen Punkt A(a|0) und P(a|f(a)) wird ein drieck bestimmt.

berechnen sie den maximalen Inhalt,den ein solches Dreieck annehmen kann.

Comments

Hier mal ein Bild zur Ideenfindung:

Answer 1

Jetzt die Rechnung dazu:

Flächeninhalt des Deiecks ist: A(a)=1/2 a*f(a)

Einsetzen in Funktion:

$$A(a)=1/2a*10a*e^{-a^2}=5a^2*e^{-a^2}$$

Extremalwert durch Ableitung bestimmen:

$$A'(a)=10a* e^{-a^2}+5a^2*(-2a)*e^{-a^2}$$

Null setzen:

$$e^{-a^2}(10a-10a^3)=0$$

a=0,a=-1,a=1

Maximum bei a=-1 und a=1

$$A(1)=5*1^2*e^{-1^2}=\frac{5}{e} \approx 1,84$$