Divergiert die folgende Reihe?

Question

Aufgabe:

(Abs)Konvergenz/Divergenz zeigen von folgender Reihe:

∑(-1)ⁿ *n!/nⁿ

(Reihe geht von n=1 bis unendlich)

Problem/Ansatz:

Habs mit dem Leibniz kriterium versucht und n!/nⁿ

betrachtet: Da jedoch n!>nⁿ folgt ja daraus , das die zugrunde liegende Folge keine Nullfolge ist.

Aus dem Nullfolgenkriterium/Trivialkriterium folgt ja, dass dann die Reihe divergiert oder?

Wäre das eine valide Lösung?

Answer 1

Da jedoch n!>nⁿ

wohl nicht. z.B.:   4! =  1*2*3*4   aber 4⁴ = 4*4*4*4 ist sicherlich größer.

Leibnizkriterium klappt !

Comments

Macht Sinn. Kann ich dann direkt sagen dass n!/nⁿ gegen 0 konvergiert oder ich muss das irgenwie zeigen? Mir fällt grad nicht ein wie man das zeigen könnte, kann man das dann direkt annehmen)

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Es ist immer ≤ 1/n und monoton fallend.

Answer 2

Aloha :)

Bist du sicher, dass es keine Nullfolge ist?$$a_n=\frac{n!}{n^n}\quad\implies$$$$a_1=\frac{1}{1}$$$$a_2=\frac{1\cdot2}{2\cdot2}$$$$a_3=\frac{1\cdot2\cdot3}{3\cdot3\cdot3}$$$$a_4=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{4\cdot4\cdot4\cdot4}$$$$a_n=\frac1n\cdot\frac2n\cdot\frac3n\cdots\frac{n-1}{n}\cdot\frac nn$$