Beweisen, dass die Reihe divergiert

Question

Aufgabe:

Für \( n \in \mathbb{N} \) sei
\( a_{n}:=\left\{\begin{array}{ll} \frac{2}{n+1}, & \text { falls } n \text { ungerade, } \\ \frac{1}{n}, & \text { falls } n \text { gerade. } \end{array}\right. \)
(i) Beweisen Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Nullfolge ist.
(ii) Beweisen Sie, dass die Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n} \) divergiert.

hallo, kann mir jemand bei (ii) helfen? Habe versucht mit der Definition von Konvergenz bzw. Divergenz zu arbeiten, aber irgendwie weiß ich nicht so ganz, wie ich drangehen soll.

Comments

Tipp: Fasse jeweils 2 aufeinanderfolgende Summanden zusammen, also \(a_{2k}-a_{2k+1}\)

Answer 1

Schreibe dir mal die Summanden von \( \sum \limits_{n=1}^{8}(-1)^{n} a_{n} \) konkret auf. Das müsste für die notwendigen Erkenntnisse reichen (wenn n nicht nur bis 8, sondern bis unendlich geht).

Comments

Den Grundgedanke verstehe ich zwar, aber ich weiß nicht, wie ich es als Beweis aufschreiben soll.

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Den Grundgedanke verstehe ich zwar,

Ich kann mangels Informationen nicht nachvollziehen, ob du den Grundgedanken verstehst.

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Könntest du vielleicht aufschreiben, wie ich beim Beweis vorgehen soll? Ich habe die Summanden für n bis 8 berechnet, bloß wie ich es allgemein beweisen soll, verstehe ich nicht so ganz.

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Wie sieht denn dein "Verstehen des Grundgedankens" aus?

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Naja habe die einzelnen Summanden berechnet und sehe halt, dass es nicht konvergiert. Bloß ist es kein Beweis.

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und sehe halt,

Woran siehst du das denn?

Aber ich glaube, das bringt nichts. Halte dich an den Kommentar von Mathhilf.