Zwei Beispiele nichtlinearer Funktionen

Question

Aufgabe:

a)Zeigen sie, dass eine lineare Abbildung L: V₁ → V₂
zwischen zwei Vektorräumen injektiv ist, genau dann wenn aus L(v ) = 0 ∈ V₂ folgt v = 0 ∈ V₁.

b)Zeigen sie anhand zweier Beispiele, dass für nichtlineare Funktionen weder das wenn noch das genau dann
gilt.

a) hab ich gelöst

b) verstehe nicht wie das zu zeigen ist

Comments

Du kannst zB

f: ℝ -> ℝ, x ↦x + 1

anschauen. Das ist nicht linear, aber injektiv. Aus f(x)=0 folgt hingegen nicht x=0. Die einzige Nullstelle ist bei -1.

Und für die andere Richtung zB

g: ℝ -> ℝ, x ↦x²

Das ist auch nicht linear. Hat diesmal nur bei 0 eine Nullstelle, ist jedoch sicherlich nicht injektiv.

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Danke schön :)

Answer 1

a) zu "<=="  Seien u,w ∈V1 mit L(u)=L(w) ==>   L(u-w)=0 ==>  u-w = 0 ==> u=w.

Zu ==> :

         L(u)=0  und wegen linear L(0)=0 also wenn L injektiv u=0.

Comments

Ja die Aufgabe a) habe ich gelöst
Die Aufgabe b) bereitet mir Probleme :)