Hallo Alex,
es gibt mehrere Möglichkeiten, zu klären, ob es sich hier um eine lineare Abbildung handelt. Man könnte aus den ersten beiden Abbildungen auf die Abbildungsmatrix schließen:$$f(2, 0) = (0, 2), \quad f(1, 1) = (10, 4) \implies f^*: \space x \mapsto \begin{pmatrix}0& 10\\ 1& 3\end{pmatrix} x$$und dann prüfen, ob dies für die dritte Abbildung auch erfüllt ist$$f^*(1,2) = \begin{pmatrix}0& 10\\ 1& 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20\\ 7\end{pmatrix} \ne f(1,2)$$ist es nicht, also kann es sich bei \(f\) um keine lineare Abbildung handeln.
In diesem konkreten Fall kann man ausnutzen, dass eine der Koordinaten bei \((2,0)\) gleich \(0\) ist.
Ich weiß auch, dass folgende Bedingung erfüllt werden muss, damit es sich um eine lineare Abbildung handelt:\( f(u + v) = f(u) + f(v) \)
Richtig! und daraus folgt unmittelbar, dass auch \(f(ku) = kf(u)\) mit \(k\in\mathbb R\) gilt. Somit gilt für eine lineare Abbildung \(f^*\) auch folgendes:$$f(2, 0) = (0, 2) \implies f^*(1, 0) = (0, 1) \\ f(1, 1) = (10, 4) \\ \quad \implies f^*(1, 1)- f^*(1, 0)= (10, 4)-(0, 1) \implies f^*(0,1) =(10,3)$$Vielleicht kommt Dir das Ergebnis bekannt vor. Es sind die Spalten der Abbildungsmatrix oben. Und nun die Linearkombination für den dritten Wert$$f^*(1,2) = f^*(1,0) + 2\cdot f^*(0,1) = (0, 1) + 2\cdot (10,3) = (20,7) \ne f(1,2)$$
Oder - dritte Möglichkeit - bastele man sich eine Linearkombination zusammen (entspricht dem Vorschlag von lul s.o.):$$f^*(1,2)=f^*\left(2\cdot(1,1) - \frac12(2,0)\right) = 2\cdot f^*(1,1) - \frac12 f^*(2,0) \\\phantom{f^*(1,2)}= 2\cdot(10,4) + \frac12(0,2) = (20,7) \ne f(1,2)$$
