Ist f(x) linear? (Vektoren)

Question

Aufgabe:

Ist f: R²→R³, f(\( \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} \) ) = [ \( \begin{pmatrix} x_1x_2\\0\\-x_1 \end{pmatrix} \) ] linear?

Problem/Ansatz

f(e_1) = f ( \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\-1 \end{pmatrix} \)

f(e_2) = f ( \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \)) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

              0  0

also A=  0  0

             -1  0

Probe:

      0  0
A=  0  0    * \( \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\-x \end{pmatrix} \)

     -1  0

Also nicht linear, weil nicht [ \( \begin{pmatrix} x_1x_2\\0\\-x_1 \end{pmatrix} \) ] rauskommt?

Answer 1

Beim Widerlegen einer Aussage ist eigentlich immer ein

konkretes Gegenbeispiel sinnvoll. Etwa hier

\( f(\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}) \)ist nicht gleich  \( f(\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix})+f(\begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}) \)

Answer 2

Hallo

 dein A ist falsch!   einfacher f(v1+v2)≠f(v1)+f(v2)

Gruß lul

Answer 3

Ist nicht richtig:

Sei lambda=2 und x=(1 1)^T

f(2*(1 1)^T)=f(2 2)=(4 0 -2)

2*f(1 1)=2*(1 0 -1)=(2 0 -2)

Da das Gesetz f(lambda * x)=lambda*f(x) gebrochen ist, ist f nicht linear.