Wie findet man die Linearkombination heraus?

Question

Aufgabe:

Schreiben Sie p(x) = −1 + 2x^2 als Linearkombination von

p1(x) = 1 + 2x − 2x^2
p2(x) =−1 − x,
p3(x) = −3 − 4x + 4x^2

Answer 1

Aloha :)

Fasse die 3 Polynome \(p_i\) als Basis eines Vektorraums auf, um die Situation auf ein lineares Gleichungssystem zurückzuführen:

$$\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & -3\\2 & -1 & -4\\-2 & 0 & 4\end{array}\right)\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ 0\\2\end{pmatrix}$$Es hat die Lösung \((a;b;c)=(3;-2;2)\). Daher ist:$$p(x)=3\cdot p_1(x)-2\cdot p_2(x)+2\cdot p_3(x)$$

Comments

Vielen Dank für diese Antwort, ich hätte jedoch ein Frage:

Wieso ist p(x)= -1 + 2x^2 im Vektor als -1/0/2 dargestellt?
Müsste die 2 nicht an 2ter Position sein, also -1/2/0?

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Die mittlere Position ist für den Vorfaktor von \(x\) vorgesehen:$$-1+2x^2=\boxed{-1}\cdot1+\boxed{0}\cdot x+\boxed{2}\cdot x^2\to\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}$$