Question

Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen differenzierbar sind und berechnen Sie deren Ableitung.
(i) \( f:(1, \infty) \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)=\log (\log x) \),
(ii) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)=\left|x^{2}-4\right|^{3} \),
(iii) \( f: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)=x^{\left(2^{x}\right)} \),
(iv) \( f: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)=\frac{(x+\sin x \cos x+3)^{5 / 3}}{\mathrm{e}^{x}-\sin x} \).

Komme leider bei der (iii) und (iv) auf keine Lösung. Hoffe dass jemand wenigsten eine der beiden Aufgaben lösen kann.

Answer 1

(i) y=ln(lnx)

y´=\( \frac{1}{lnx} \)•\( \frac{1}{x} \)

(i i)

Text erkannt:

\( f(x)=\left|x^{2}-4\right|^{3} \)
\( \left|x^{2}-4\right|=\sqrt{\left(x^{2}-4\right)^{2}} \)
\( f(x)=\left(\sqrt{\left(x^{2}-4\right)^{2}}\right)^{3} \)
\( \frac{d f(x)}{d x}=3 \cdot\left(\sqrt{\left(x^{2}-4\right)^{2}}\right)^{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{\left(x^{2}-4\right)^{2}}} \cdot 2 \cdot\left(x^{2}-4\right) \cdot 2 x \)
\( \frac{d f(x)}{d x}=3 \cdot\left(\sqrt{\left(x^{2}-4\right)^{2}}\right)^{2} \cdot \frac{\left(x^{2}-4\right) \cdot 2 x}{\sqrt{\left(x^{2}-4\right)^{2}}} \)
\( \frac{d f(x)}{d x}=6 x \cdot\left(\sqrt{\left(x^{2}-4\right)^{2}}\right)^{2} \cdot \frac{\left(x^{2}-4\right)}{\sqrt{\left(x^{2}-4\right)^{2}}} \)
\( \frac{d f(x)}{d x}=6 x \cdot\left(\sqrt{\left(x^{2}-4\right)^{2}}\right) \cdot\left(x^{2}-4\right) \)
\( \frac{d f(x)}{d x}=6 x \cdot\left|x^{2}-4\right| \cdot\left(x^{2}-4\right) \)