Matrizen auf Untervektorraum prüfen

Question

Aufgabe:

Es sei \( \mathbf{V}=\mathbb{R}^{2 \times 2} \) der Vektorraum der \( 2 \times 2 \) Matrizen.

a) Zeigen oder Widerlegen Sie: Die Teilmenge \( \mathbf{W}=\{A \in \mathbf{V} \mid \operatorname{det}(A)>0\} \) ist ein Untervektorraum von \( \mathbf{V} \).

b) Zeigen Sie: Die Teilmenge \( \mathbf{U} \) der symmetrischen \( 2 \times 2 \) Matrizen ist ein Untervektorraum von \( \mathbf{V} \).

c) Geben Sie eine Basis und die Dimension für \( \mathbf{U} \) an.

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, das ist meine letzte Frage,

Ich bin etwas verwirrt mit der Prüfung der Untervektorräume in dieser Aufgabe.

Wie macht man das bei Matrizen, ich weiß nur wie man das bei Vektoren macht.

Kann mir das einer Analog zu Matrizen zeigen?

Hier brauche ich Hilfe in allen Teilaufgaben.

Answer 1

Matrizen kann man addieren und mit reellen Zahlen

multiplizieren. Das sind die einzigen Operationen, die

man für einen Vektorraum braucht.

etwa b)  Elemente aus U sehen alle so aus \(   \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}  \).

Zeige z.B. Abgeschlossenheit gegenüber +, also so

\(  \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x & y \\ y & z \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} a+x & b+y \\ b+y & c+z \end{pmatrix} \)

also wieder aus U.

etc.

Comments

Wäre das erste Axiom dann:

\( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) € 0 

Oder wäre es U€0 mit 0*\( \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix} \) = Nullmatrix

Und das dritte dann:

Y* \( \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix} \) =0

?

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Wäre das erste Axiom dann:

\( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) € 0 

ungefähr: Der (angebliche) Unterraum heißt doch U.

Das 1. Axiom heißt vermutlich 0∈U

in Worten: Jeder Unterraum von V muss den 0-Vektor

von V enthalten. Also wäre hier zu prüfen

\( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) € U .

Ob ein Element in U ist oder nicht, bemerkst du an der Definition:

det(A) > 0. Also musst du schauen, ob

\( det (\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ) = 0 \) gilt.

Das ist nicht der Fall, denn die det ist hier 0, also nicht >0.

Answer 2

a) ist kein. Denn die Nullmatrix ist wegen der Determinante ,die gleich 0 ist, nicht drin.

Answer 3

Hallo :-)

a) ist falsch betrachte zb

\( A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}  \) und \( B=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}  \). Es gilt zunächst \(\det(A)=1=\det(B)\), aber \(\det(A+B)=\det(\textbf{0})=0\).

b) rechne die Axiome zu Untervektorräumen nach.

c) Du hast hier drei Freiheitsgrade, nach dem du deine symmetrische Matrix aufspalten kannst:

\(  \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}=  a\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}+b\cdot \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}+c\cdot \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} \).

Die dortigen drei Matrizen sind linear unabhängig. Das kannst du so überprüfen, indem du die Matrizen ,,aufrollst" und folgende Gleichheit betrachtest:

\(r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}\)

Comments

Vielen Dank.