Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden h und k (Vektorrechnung)

Question

Gegeben sind die Punkte

A(-2|6| 2), B(-6|2| 4), C(5|-8|6) und D(9|-4|4)

sowie die Gerade \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 3\end{array}\right) \) mit \( r \in \mathbb{R} \)

2.1 Die Gerade h verläuft durch die Punkte B und D.

Die Gerade k verläuft durch den Punkt C und den Mittelpunkt der Strecke AB.

Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden h und k.

2.2 Zeigen Sie, dass die Punkte \( A, B, C \) und \( D \) ein Rechteck bilden.

2.3 Das Rechteck \( \mathrm{ABCD} \) liegt in der Ebene E. Prüfen Sie, ob der Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E innerhalb dieses Rechtecks liegt.

2.4 Welche Punkte auf der Geraden g haben vorn Punkt \( F(2|-1| 1) \) den Abstand \( 2 \sqrt{14} \)?

Abitur 2008. Baden-Württemberg.

Answer 1

2.1)

Gerade h: Stützvektor B und Richtungsvektor D - B, also:

$$h:\vec { x } =B+m*(D-B)$$$$=\begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}+m\left[ \begin{pmatrix} 9 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \right] =\begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}+m\begin{pmatrix} 15 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Mittelpunkt M der Strecke AB:

$$M=\frac { 1 }{ 2 } (A+B)=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \right] =\begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Gerade k: Stützvektor C und Richtungsvektor M - C, also:

$$k:\vec { x } =C+n*(M-C)$$$$=\begin{pmatrix} 5 \\ -8 \\ 6 \end{pmatrix}+n\left[ \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5 \\ -8 \\ 6 \end{pmatrix} \right] =\begin{pmatrix} 5 \\ -8 \\ 6 \end{pmatrix}+n\begin{pmatrix} -9 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix}$$

Geradengleichungen h und k gleichsetzen:

$$\begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}+m\begin{pmatrix} 15 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ -8 \\ 6 \end{pmatrix}+n\begin{pmatrix} -9 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix}$$

und aus diesem Gleichungssystem m und n bestimmen:

Dritte Gleichung:

$$4=6-3n\Leftrightarrow n=\frac { 2 }{ 3 }$$

Einsetzen in zweite Gleichung:

$$2-6m=-8+\frac { 2 }{ 3 } 12=0\Leftrightarrow 2=6m\Leftrightarrow m=\frac { 1 }{ 3 }$$

Prüfen durch Einsetzen in erste Gleichung:

$$-6+\frac { 1 }{ 3 } 15=5+\frac { 2 }{ 3 } (-9)\Leftrightarrow -1=-1$$

Bestimmung des Schnittpunktes S durch Einsetzen vom m in die Geradengleichung h:

$$S=\begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}+\frac { 1 }{ 3 } \begin{pmatrix} 15 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$$

Comments

Gerade k: Stützvektor C und Richtungsvektor M - C, also:

hier wurde als AUfhängepunkt der Punkt c genommen und somit haben die hier ein anderes ergebnis