Die Zahl P( \sqrt{p1} ,..., \sqrt{pn} )∈ℂ ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Question

Aufgabe:

Sei p₁  < p₂ < ...< p_n   eine Menge von Primzahlen und sei P∈Q[X₁ , ...,X_n ] ein Polynom.

Zu Zeigen: Die Zahl P( \( \sqrt{p1} \) ,..., \( \sqrt{p2} \) )∈ℂ ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar. (mit p1 ist nicht p*1 sondern p₁ gemeint)

Ich weiß: lemma: Sei K ⊂ C ein Teilkörper, a ∈ K. Dann ist √a mit Zirkel und Lineal aus K konstruierbar. und

Theorem: Ein Element z ∈ C ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn es eine Kette von Körpererweiterungen Q = K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Kn gibt mit z ∈ Kn, [Ki : Ki−1] = 2.

Ist die Lösung nicht einfach eine Anwendung des Theorems?  

Answer 1

"Ist die Lösung nicht einfach eine Anwendung des Theorems? "

In der Tat:

\(P(\sqrt{p_1},\cdots,\sqrt{p_n})\) liegt in \(\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\cdots,\sqrt{p_n})=\)

\(=\mathbb{Q}(\sqrt{p_1})(\sqrt{p_2})\cdots (\sqrt{p_n})\). das sind

sukzessive quadratische Erweiterungen und die Aussage folgt

sofort aus dem Theorem.