Integral lösen (ohne echte Lösung)

Question

Aufgabe: Ich möchte gerne dieses Integral lösen: \( \int\limits_{0}^{0} \)  3 / 2x²-2x+2 dx
Wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor, wenn wir keine echte Lösung haben?

Ich wollte die Aufgabe dann mit Substitution lösen, kam aber nicht auf das richtige Ergebnis.

Lösung: \( \sqrt{3} \) arctan 2x-1/\( \sqrt{3} \) + C

Comments

Das Integral brauchst du gar nicht zu berechnen. Obere und untere Grenze sind gleich, also ist das Integral null.

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Du suchst eine Stammfunktion von

3/( 2x^2-2x+2).

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Ja! Da habe ich mich falsch ausgedrückt.

Answer 1

Hallo

wissen dass es eine Stammfunktion zu 1/(u^2+1) gibt

also 1. 2 ausklammern, dann (x-1/2)^2+3/4 oder 3/4(4/3(x-1/2)^2+1) also u^2=4/3*(x-1/2)^2

entsprechend substituieren

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Du solltest wissen, dass \(\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+C\) gilt.

Dann solltest du das Integral auf eine geeignete Form bringen, sodass du das obige Integral anwenden kannst:$$I=\int\frac{3}{2x^2-2x+2}dx=\frac32\int\frac{1}{x^2-x+1}dx=\frac32\int\frac{1}{x^2-x+\frac14+\frac34}dx$$$$\phantom{I}=\frac32\int\frac{1}{\left(x-\frac12\right)^2+\frac34}dx=\frac32\int\frac{\frac43}{\frac43\left(x-\frac12\right)^2+1}dx=\int\frac{2}{1+\left(\frac{2}{\sqrt3}\left(x-\frac12\right)\right)^2}dx$$

Jetzt haben wir den Patienten soweit vorbereitet, dass wir substituieren können:$$u\coloneqq\frac{2}{\sqrt3}\left(x-\frac12\right)\quad;\quad\frac{du}{dx}=\frac{2}{\sqrt3}\implies dx=\frac{\sqrt3}{2}\,du$$Dies eingesetzt liefert:$$I=\int\frac{2}{1+u^2}\,\frac{\sqrt3}{2}\,du=\sqrt3\int\frac{1}{1+u^2}\,du=\sqrt3\,\arctan(u)+C$$Wir ersetzen \(u\) in der Lösung und erhalten als Endergebnis:$$I=\sqrt3\,\arctan\left(\frac{2}{\sqrt3}\left(x-\frac12\right)\right)+C=\sqrt3\,\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt3}\right)+C$$