Berechnen Sie den Wert der Präferenzfunktion bei dem beschriebenen Glücksspiel

Question

Ein Teilnehmer einer Spielshow im Fernsehen nimmt an einem Glücksspiel teil. Der Gewinn des Glücksspiels wird durch die Zufallsvariable G beschrieben. Diese hat folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:

g	50	70	290	370	380
P (G=g)	0.42	0.05	0.13	0.08	0.32

Nehmen Sie an, der Teilnehmer hat eine von dem Erwartungswert und der Standardabweichung des Gewinns abhängige Präferenzfunktion:

Erwartungswert + Standardabweichung = risikofreudiger Teilnehmer,

Erwartungswert = risikoneutraler Teilnehmer und

Erwartungswert - Standardabweichung = risikoaverser Teilnehmer

Berechnen Sie den Wert der Präferenzfunktion bei dem beschriebenen Glücksspiel für einen risikofreudigen Teilnehmer.

Ich erhalte als Lösung 476,4106 - das ist aber leider falsch.

Meine Präferenzfunktion ist 213,4 (für Erwartungswert) und 263,0106 (für Standardabweichung.

Ich habe den Erwartungswert, die Varianz sowie die Standardabweichung berechnet, kann mir jemand bitte helfen und findet eventuell den Fehler?

Answer 1

Aloha :)

Als Erwartungswert erhalte ich ebenfalls \(\mu=\left<G\right>=213,4\).

Wegen \(\left<G^2\right>=69\,388\) erhalte ich als Varianz: \(\sigma^2=\left<G^2\right>-\left<G\right>^2=23\,848,44\).

Damit beträgt die Standardabweichunge: \(\sigma\approx154,4294\).

Der Wert der Präferenzfunktion für einen risikofreudigen Teilnehmer beträgt daher:

$$\mu+\sigma=213,4+154,4294\approx367,83$$

Comments

Den Fehler hab ich gefunden, vielen Dank - aber darf ich fragen wie genau Sie die 23848,44 berechnet haben? Das kann ich nicht ganz nachvollziehen. Vielen Dank!

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Zur Berechnung des Mittelwertert \(\mu\) rechnest du hier:$$\mu=\sum\limits_{n=1}^5P(G=g_i)\cdot g_i\eqqcolon\left<G\right>$$Du multiplizierst also alle Werte von \(g_i\) mit ihrer Wahrscheinlichkeit. Das schreibt man auch als \(\left<G\right>\).

Zur Berechnung der Varianz brauchst du zusätzlich:$$\left<G^2\right>\coloneqq\sum\limits_{n=1}^5P(G=g_i)\cdot g_i^2$$den Mittelwert der Quadrate \(g_i^2\).

Die Varianz ist dann nämlich einfach:$$\sigma^2=\left<G^2\right>-\left<G\right>^2$$

Du kennst vermutlich folgende Formel für die Varianz:$$\sigma^2=\sum\limits_{n=1}^5P(G=g_i)\cdot\left(g_i-\mu\right)^2$$Die führt auf exakt dasselbe Ergebnis wie die obige Rechnung, aber der Rechenweg ist fummeliger, weil du von allen Werten \(g_i\) den Mittelwert \(\mu\) abziehen musst und dass dann quadrieren musst. Bei der obigen Methode kannst du dir die einzelnen Subtraktion sparen.