Zeige: n(A×B) n(A)n(B) für endlich viele Mengen

Question

Hallo, könnte mir vielleicht jemand erklären, wie man die folgende Aufgabe löst.

Seien A und B endliche Mengen. Es bezeichne n(M) die Anzahl der Elemente in der Menge M. Zeige: n(A×B) n(A)n(B). Verallgemeinere das Resultat für endlich viele Mengen.

Ich bedanke mich jetzt schon für eure Hilfe.

Comments

Das wird ein Induktionsbeweis. Verwende die natürliche Bijektion

$$ A_1 \times ... \times A_k \times A_{k+1} \cong (A_1 \times ... \times A_k) \times A_{k+1} $$

(Bijektionen erhalten die Kardinalität)

Damit erhält man dann

$$ n(A_1 \times ... \times A_k \times A_{k+1}) = n\left((A_1 \times ... \times A_k) \times A_{k+1}\right) \\= n(A_1 \times ... \times A_k)  \cdot n(A_{k+1})$$

Answer 1

AxB enthält alle Paare (x,y) mit x∈A und y∈B.

Wenn eine von beiden leer ist, ist auch A x B leer und hat also 0 Elemente.

0 * n(B)=0  und auch n(A)*0=0.

Ansonsten wähle ein x1 aus A und dann gibt es so viele Paare (x1,y)

wie die Anzahl der Elemente von B beträgt, also n(B). Jedes kann ja das y sein.

Dann wähle das nächste x2 ∈ A und von (x2,y) gibt es wieder n(B) Stück.

etc. Insgesamt also n(A)*n(B) .