Bestimmen der Stammfunktion von f(x)= (x^2+4x)*e^x

Question

kann mir irgendwer erklären, wie man die Stammfunktion von f(x)=(x²+4x)*e^x aufstellt?

Answer 1

Du kannst vermuten

F(x) = (a·x^2 + b·x + c)·e^x

F'(x) = e^x·(a·x^2 + (2·a + b)·x + (b + c))

Wir machen ein Koeffizientenvergleich

a = 1

2·a + b = 4
2·1 + b = 4
b = 2

b + c = 0
2 + c = 0
c = -2

Also lautet die Stammfunktion

F(x) = (x^2 + 2·x - 2)·e^x

Comments

Das geht hier schneller als 2 mal die Partielle Integration zu machen. Selbstverständlich würde die aber genau so gut funktionieren.

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Wie kommt man denn auf F(x) = (a·x² + b·x + c)·e^x ?

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Wenn man mal ein paar solcher e-Funktionen abgeleitet hat, weiß man das nach Produktregel zu dem Polynom ja einfach nur die Ableitung hinzu kommt.

Es bleibt also ein Polynom vom gleichen Grad in der Ableitung also auch in der Stammfunktion (Aufleitung).