Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von

(1-i)^{10}      ,       (1-i\( \sqrt{3} \))^{6}            ,        (\( \frac{\sqrt{3}-i}{1-i} \))^{12}           ,         (\( \frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+i} \))^{2021}

Könnte mir jemand den Rechenweg zeigen ich komm nicht drauf

Answer 1

(1-i)²= - 2i auf beiden Seiten quadrieren

(1-i)⁴= - 4 auf beiden Seiten quadrieren

(1-i)⁸= 16 

(1-i)¹⁰ = (1-i)⁸·(1-i)²=-32i.

Comments

könntest du vielleicht erklären wie du das machst ich verstehe nicht die schritte die du machst zum beispiel wie man von (1-i)^2=-2i kommt.

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Du weißt sicher i²=-1.

Wende zur Berechnng von (1-i)² die zweite binomische Formel an:

(1-i)²=1² - 2·1·i + i²= 1 - 2i - 1 = -2i.

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Naja du musst (1-i)¹⁰ machen, das heißt du machst das Schritt für Schritt, erstmal (1-i)² Das ergibt dann (1-i)*(1-i) = 1-i-i+i² Und wir wissen ja das i hoch zwei immer -1 ist, das heißt du hast da 1 - i - i + (-1) und das ergibt dann -2i. Nun quadrierst du dieses Ergebnis also (-2i)² und das ergibt dann -4. Jetzt hast du so zu sagen schon hoch 4, jetzt musst du dieses Ergebnis hoch 2 machen also -4 quadriert ergibt dann 16. Nun hast du so zu sagen deine Ausgangsfunktion schon 8 mal hochgenommen. dieses Ergebnis multiplizierst du jetzt nochmal mit (1-i)² also hast du da 16 * -2i und das ergibt dann -32 i.

Answer 2

Hallo,

bei den hohen Potenzen ist es im Allgemeinen günstig, den Ausdruck in die Exponentialform umzuwandeln. Das letzte Beispiel geht so:$$\phantom=\left( \frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+i}\right)^{2021}\\ = \left( \frac{(\sqrt{3}-i)^2}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}\right)^{2021}\\ = \left( \frac{2-2i\sqrt 3}{4}\right)^{2021}\\ = \left( \frac 12 - i\frac 12\sqrt 3 \right)^{2021}\quad \quad\left|\,\sqrt{\left(\frac{1}2{}\right)^2+\left(\frac{\sqrt 3}{2}\right)^2}= 1\space (!)\right.\\ = \left( \cos(-60°) + i\sin(-60°) \right)^{2021} \quad \left|\,60°=\frac\pi3\right.\\ = \left(e^{-i\frac13\pi} \right)^{2021}\\ = e^{-2021i\frac13\pi} \quad\quad \left|\,2021\equiv -1\mod 6\right.\\ = e^{i\frac13\pi} \\ = \cos\left(\frac\pi3\right)+i\sin\left(\frac\pi3\right) \\ = \frac12\sqrt 3 + \frac12i$$Bei Brüchen immer erst den imaginären Anteil im Nenner beseitigen. So beim dritten Term$$\phantom=\left( \frac{\sqrt{3}-i}{1-i} \right)^{12}\\ = \left( \frac{(\sqrt{3}-i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} \right)^{12}\\ = \left( \frac{\sqrt{3}+1+i(\sqrt 3 - 1)}{1-i^2} \right)^{12}\\ = \left( \frac{\sqrt{3}+1+i(\sqrt 3 - 1)}{2} \right)^{12}$$und hier muss man noch den Bertrag des Terms beachten, der im Klammerausdruck steht. Es ist:$$\phantom=\frac12\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2 + (\sqrt{3}-1)^2}\\ =\frac12\sqrt{3+2\sqrt 3+1 +3 -2\sqrt 3 +1 }\\ =\frac12\sqrt{8}\\ =\sqrt2$$man muss also den Faktor \(\sqrt 2\) ausklammern$$= \left( \frac{\sqrt{3}+1+i(\sqrt 3 - 1)}{2} \right)^{12}\\ = \left( \sqrt2\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt 2}{4}+i\frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4} \right)\right)^{12}\\ = \left( \sqrt2\left(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \right)\right)^{12}$$usw. Die anderen sind etwas einfacher ;-)

Gruß Werner