Prüfe, ob eine Äquivalenzrelation vorliegt für L:={ l ∈ L | l ist eineGerade }

Question

Hallo, könnte mir vielleicht jemand diese Aufgabe hier erklären, hier geht es um Äquivalenzrelationen.
Ich weiß das eine Äquivalenzrelation gegeben ist, wenn eine Relation, symmetrisch, transitiiv und reflexiv ist. Ich kann das auch mit Beispielen wo eine explizite Menge gegeben ist. Aber hier bei dem folgenden Beispiel wo nur steht, das eine Gerade gegeben ist, komme ich nicht so recht weiter. Vielleicht ist wer so freundlich und kann mir das kurz hier erklären.

Prüfe, ob eine Äquivalenzrelation vorliegt!

Sei L:={ l ∈ L | l ist eine Gerade } die Menge aller Geraden im R². Seil,g ∈ L beliebig.
(i) Die Relation R sei auf L×L folgend definiert: lRg :⇔ (l||g) oder (l≡g)
(ii) Die Relation S sei auf L×L folgend definiert: lSg :⇔ l und g besitzen einen Schnittpunkt
(iii) Die Relation O sei auf L×L folgend definiert: lOg :⇔ l⊥g (l und g stehen orthogonal aufeinander)

Da es schon ein relativ altes Übungsblatt ist, habe ich die Lösung dazu, aber leider keinen Lösungsweg. Die Lösung sagt das nur (i) eine Äquivalenzrelation ist, aber warum? Wie müsste ich hier genau vorgehen?

Answer 1

Du musst immer drei Eigenschaften prüfen:

1. reflexiv: Also ob jedes Element der betrachteten Menge mit sich selbst

in dieser Relation steht: z.B. bei (i)  Jede Gerade ist mit sich selbst identisch,

also ja.

2.  symmetrisch: Wenn für 2 Elemente der menge gilt lRg dann auch gRl.

Das ist bei " parallel oder identisch" gegeben:

Wenn g parallel zu l dann auch l parallel zu g

und bei identisch ebenso.

3. transitiv

Wenn lRg und gRh dann muss auch lRh gelten.

Auch das ist erfüllt.

bei (ii) ist "transitiv" nicht erfüllt:

Wenn g und l einen Schnittpunkt haben und l und h auch einen,

dann könnten aber g und h parallel sein, also keinen haben.

Die beiden ständen dann nicht in der Relation.

(iii) entsprechend