Für welche x aus den reellen Zahlen gilt 2|x − 4| − |x − 2| 2?

Question

Aufgabe:

2|x − 4| − |x − 2| < 2

Problem/Ansatz:

Für welche x aus den reellen Zahlen gilt 2|x − 4| − |x − 2| < 2? Ich würde das mit einer Fallunterscheidung lösen, aber ich weiß nicht wie man die Fälle bestimmt mit zwei Beträgen in einem Term. Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Die Beträge werden durch unterschiedliche Terme beschrieben,

je nachdem ob beim ersten x<4 oder x≥4 gilt

und beim zweiten x<2 oder x≥2

Also musst du betrachten

1. Fall x<2  (Dann ist ja auch x<4), also ist die Ungleichung

-2(x − 4) − (-(x − 2)) < 2  <=>  x>4 , also hier keine Lösung

2. Fall 2≤x<4 dann ist die Ungleichung

-2(x − 4) − (x − 2) < 2  <=>  x>8/3 , also gibt es für diesen Fall

                              alle mit 8/3≤x<4  als Lösungen.

3. Fall x≥4 ( also auch x≥2)

dann ist die Ungleichung
2(x − 4) − (x − 2) < 2  <=>  x<8 also L = [4;8[

Insgesamt also L= [ 8/3 ; 8 ]

Answer 2

Der eine Betrag ändert sein Verhalten bei x=4, der andere bei x=2.

Untersuche also die 3 Fälle

x<2,

2≤x≤4 und

x>4.