Multiplikation von Vektor und dessen transponiertem Vektor

Question

Aufgabe:

Gegeben ist ein Vektor u =\( \begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix} \)

Nun muss ich den Zusammenhang zwischen u^T * u und |u| zeigen.

Problem/Ansatz:

Ich habe nun das hier gerechnet:

u^T * u=\( \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ \end{pmatrix} \)    *  \( \begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix} \)

und raus kam: 1x1 Matrix mit \( \begin{pmatrix} 14 \\ \end{pmatrix} \)

$$Für |u| = \sqrt{3²+2²+1²} = \sqrt{14}$$

Der Betrag von $$|u^T * u| = \sqrt{14²} = 14$$

Was genau ist denn nun der Zusammenhang von u^T * u und |u|

Comments

\(|u|=\sqrt{3^2+2^2+(-1)^2}\)

\(u^T\cdot u = (3,2,-1) \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 3^2+2^2+(-1)^2 \).

Was ist der Zusammenhang?

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Der Betrag sagt ja was über die Länge des Vektors.

Demnach hat |u^T * u| die Hälfte der Länge von |u|?

Ist das der Zusammenhang?

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Demnach hat |u| die hälfte der Länge von |u^T * u|

Du siehst bereits anhand deiner Werte, dass das nicht sein kann.

Vielleicht ist der Zusammenhang zu offensichtlich:

Es ist \(|u| = \sqrt{u^T\cdot u}\), bzw. \(|u|^2 = u^T\cdot u\), du siehst doch dass die Werte genau gleich sind, nur bei dem einen die Wurzel drüber steht.

Das Skalarprodukt eines reellen Vektors mit sich selbst ergibt das Quadrat seines Betrags.

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Oh... okay danke, sry manchmal sehe ich sowas einfaches nicht :)

Answer 1

\(u^\mathrm{T}*u = |u|^2\)