Zeigen Sie, wenn n ungerade ist, dann existiert ein K∈{1,...,n} so dass f(k) und k beide ungerade sind

Question

Aufgabe:

… Sei n∈ℕ und f: {1,...,n} -> {1,...,n} eine Bijektive Abbildungen der Zahlen von 1 bis n selber.
a) Zeigen Sie, wenn n ungerade ist, dann existiert ein K∈{1,...,n} so dass f(k) und k beide ungerade sind

b) Zeigen SIe ist n ungerade , dann ist das Produkt gerade

n

∏ (f(k)-k)

i=1
Problem/Ansatz:

a) Ich bin wie folgt auf das Problem eingegangen.

n ungerade -> ∃k∈ℕ : n = 2k+1
Daraus fällt dann auf, dass k<n ist und K∈{1,...,n} gilt. Ich weiß auch f(k)<f(n) gelten soll und ich kann am Ende schließen, dass aufgrund der Bijektivität von f, soll schon k ungerade sein wenn f(k) ungerade ist, aber wie kann ich ich beweisen, dass f(k) ungerade ist?

b) Hier weiß ich einfach nicht wie ich anfangen soll

Comments

Warum soll bei a) f(k)< f(n) sein ?

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Einfach nur meine Intuition davon

Answer 1

a) Angenommen \(n\) sei ungerade.

Dann gibt es in der Menge \(\{1,...,n\}\) offensichtlich genau \(\frac{n+1}{2}\) ungerade Zahlen.

Weiter gibt es genau \(\frac{n-1}{2}\) gerade Zahlen in dieser Menge.

Würden wir annehmen, dass für alle \(K\in \{1,...,n\}\) gilt \(K \text{ ungerade} \Rightarrow f(K) \text{ gerade}\), so würden wir wg. der Bijektivität von \(f\) für jedes \(K\) ein gerades Bild \(f(K)\) benötigen, sodass diese Bilder insgesamt alle paarweise verschieden sind.

Da wir allerdings für \(\frac{n+1}{2}\) mögliche Werte für \(K\) nur genau \(\frac{n-1}{2}\) mögliche gerade Bilder haben, ist das offenbar nicht möglich, ein Widerspruch zur Annahme.

Also gibt es ein \(K\in \{1,...,n\}\) mit \(K \text{ ungerade}\) und \(f(K) \text{ ungerade}\).

b) Nutze a): Es gibt ein \(i\in \{1,...,n\}\) mit \(i\) ungerade und \(f(i)\) ungerade, also \(f(i)-i\) gerade.

Entsprechend bleibt der Faktor \(2\) in dem gesamten Produkt enthalten, da der Faktor \((f(i)-i)\) bereits gerade ist.

Comments

Einfach und Klar genug

Danke.

Answer 2

Zu b)

Wir wissen bereits aus a), dass es ein Paar (k,f(k)) gibt, in dem

sowohl f(k) als auch k ungerade sind, dann ist f(k)-k gerade und damit

auch das Produkt.