Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Zuflussrate ihr Maximum annimmt und geben

Question

Aufgabe:

In ein Staubecken oberhalb eines Bergdorfes fließt ein Bach. Die momentane Zuflussrate aus dem
Bach wird an einem Tag mit starken Regenfällen durch die Funktion f mit
f(t) = 2000(e^-x/80- e^-x/40₎        für einen bestimmten Beobachtungszeitraum modelliert.
Dabei fasst man t als Maßzahl zur Einheit 1 Min und f(t) als Maßzahl zur Einheit 1 l
Min
auf.
Der Beobachtungszeitraum beginnt zum Zeitpunkt t = 0 und endet zum Zeitpunkt t = 180.

a) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Zuflussrate ihr Maximum annimmt und geben
Sie dieses Maximum an.
b) Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Zuflussrate am stärksten ansteigt, und geben Sie
diese Änderung an.
c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand im Becken maximal ist, und geben
Sie diesen an.
d) Zum Zeitpunkt t = 0 kann das Staubecken noch 65 m3
Wasser aufnehmen. Prüfen Sie, ob
das Staubecken das gesamte Wasser aus dem Bach während der 3 Stunden des
Beobachtungszeitraums aufnehmen könnte.
e) Um ein Überlaufen des Staubeckens zu verhindern, wird nach einer Stunde ein vorher
verschlossener Notablauf geöffnet. Durch diesen fließt Wasser mit einer konstanten
Abflussrate von 100 l/min
Min aus dem Staubecken ab. Der Notablauf bleibt bis zum Ende des
Beobachtungszeitraums geöffnet. Entscheiden Sie, ob das Staubecken unter dieser
Bedingung innerhalb des Beobachtungszeitraums überläuft

Answer 1

Hast du die erste Ableitung bereits gebildet oder konntest du das schon nicht?

f(t) = 2000·(e^(- x/80) - e^(- x/40)) = 2000·e^(- x/80) - 2000·e^(- x/40)
f'(t) = 50·e^(- x/40) - 25·e^(- x/80)

Comments

Hey Mathecoach,

danke für die fixe Antwort. Das konnte ich in der Tat noch nicht, da dort 2x e vorkommt in der funktion uns x geteilt durch eine Zahl.

Ist deine Ableitung denn so richtig? Ich habe die mal in so einen Online Rechner eingegeben , da kam was anderes raus aber weiß sowie so nicht wie gut diese Rechner sind :D.

LG Freggel

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Es gibt sehr gute Onlinerechner. Hier ist es günstig evtl. erstmal die Klammer auszumultiplizieren, damit du nachher keine Brüche hast.

Der Rechner unter https://www.ableitungsrechner.net/ kann auch seine Lösung mit deiner Lösung vergleichen, wenn deine eine andere Form hat.

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Ahh perfekt danke!!!

jetzt würde ich mit der notw. Bed. f'(t) = 0 setzen

also

50·e^(- x/40) - 25·e^(- x/80) = 0

wie gehe ich nun vor um das x zu ermitteln?

LG

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Begründe zunächst das gilt:

(e^(- x/80))^2 = e^(- x/40)

Substituiere (ersetze) dann

(e^(- x/80)) = z
f'(t) = 50·e^(- x/40) - 25·e^(- x/80) = 0
50·z^2 - 25·z = 0
z·(50·z - 25) = 0

Löse die Gleichung jetzt und resubstituiere dann das z um die Lösung für x zu bekommen.

x = - 80·LN(z) = ...