Nullstellen des Polynoms, wobei Sie verwenden dürfen, dass x= 1 - i eine Nullstelle ist

Question

Bestimmen Sie alle Nullstellen des folgenden Polynoms, wobei Sie verwenden dürfen, dass \( \mathrm{x}=1 \) - i eine Nullstelle ist.
\( \mathrm{p}(\mathrm{x})=x^{5}-2 x^{4}+x^{3}+2 x^{2}-2 x \)

Ich kann mit der x = 1 - i nichts anfangen, wie sollte man das machen?

Comments

wie sollte man das machen?

Du kannst das Polynom durch den Linear-Faktor \((x-(1-i))\) dividieren (Polynomdivision, Hornerschema) und so diesen Faktor abspalten.

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Das kann man machen, muss man aber nicht.

Answer 1

Hallo,

wenn \((1-i)\) eine Nullstelle ist, dann ist auch \((1+i)\) eine Nullstelle. Und das Produkt ist$$(x-(1-i))(x-(1+i)) = x^2-2x+2$$Weiter ist ersichtlich, dass \(x=0\) eine Nullstelle ist. Dividiere also$$(x^4-2x^3+x^2+2x-2)\div(x^2-2x+2)$$siehe Polynomdivision. Falls Du dabei Schwierigkeiten hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Danke! Ich hab es hinbekommen, hab die Nullstellen: 0, 1 und -1.

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hab die Nullstellen: 0, 1 und -1.

ist richtig, und die vierte und fünfte Nullstelle ist \((1-i)\) und \((1+i)\)

Answer 2

Hallo,

\(\mathrm{p}(\mathrm{x})=x^{5}-2 x^{4}+x^{3}+2 x^{2}-2 x \)

\(0=x^{5}-2 x^{4}+x^{3}+2 x^{2}-2 x \)

\(0=x\cdot(x^{4}-2 x^3+x^2+2 x-2 )\)

Wenn man die Koeffizienten addiert, ergibt das Null. Also ist x=1 eine Nullstelle.

\(0=x\cdot(x^{4}-x^3-x^3+x^2+2x-2 )\)

\(0=x\cdot(x^{3}(x-1)-x^2(x-1)+2(x-1) )\)

\(0=x\cdot(x-1)\cdot(x^{3}-x^2+2)\)

x=-1 eine Nullstelle von x³-x²+2.

\(0=x\cdot(x-1)\cdot(x^{3}+x^2-2x^2-2x+2x+2)\)

\(0=x\cdot(x-1)\cdot(x^2(x+1)-2x(x+1)+2(x+1))\)

\(0=x\cdot(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x^2-2x+2)\)

Die Nullstellen des letzten Klammerterms lassen sich nun leicht bestimmen.

\(0=x\cdot(x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-(1+i))\cdot(x-(1-i))\)

:-)

Answer 3

Die Nullstelle x₁=0 sieht man. Die Nullstellen x₂=1 und x₃= - 1 findet man durch Probieren.

Nach Division des Polynoms durch die zugehörigen Linearfaktoren bleibt x²-2x+2=0 zu lösen: x₄=1- i; x₅=1+i.

Comments

Hab jetzt wie es Werner-Salomon oben beschrieben hat gemacht und hab die Nullstellen 0,1 und -1 gefunden.

Indem ich die Polynomdivison benutzt habe : \((x^4-2x^3+x^2+2x-2)\div(x^2-2x+2)\)

Muss ich jetzt nochmal extra das machen was du gesagt hast ? Also x²-2x+2=0 lösen ?

Um auf x4=1- i; x5=1+i zu kommen? Oder ist dies nicht notwendig?

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Muss ich jetzt nochmal extra das machen was du gesagt hast ? Also x2-2x+2=0 lösen ?

Ja!

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Muss ich jetzt nochmal extra das machen was du gesagt hast ? Also x2-2x+2=0 lösen ?

Ja!

Nein. Man soll hier ausnutzen, dass nicht reelle Nullstellen eines Polynoms mit lauter reellen Koeffizienten immer paarweise auftreten. Das bedeutet hier, dass sämtliche Zerlegungsmaßnahmen wie Polynomdivision, Ausklammern etc. unnötig sind, da ja alle fünf Nullstellen entweder gegeben oder offensichtlich sind.

Answer 4

x^5 - 2·x^4 + x^3 + 2·x^2 - 2·x = x·(x^4 - 2·x^3 + x^2 + 2·x - 2) → x = 0

Wenn (1 - i) eine Nullstelle ist ist auch (1 + i) eine Nullstelle und damit enthält die Funktion den Faktor

(x - (1 - i))·(x - (1 + i)) = x^2 - 2·x + 2

(x^4 - 2·x^3 + x^2 + 2·x - 2) / (x^2 - 2·x + 2) = x^2 - 1

Das Restpolynom hat jetzt offensichtlich die Nullstellen ±1 und damit hat man alle möglichen 5 Nullstellen gefunden. Die Nullstellen sind also

x = 1 - i ∨  x = 1 + i ∨  x = -1  ∨  x = 1  ∨  x = 0

Comments

(x^4 - 2·x³ + x² + 2·x - 2) / (x² - 2·x + 2) = x2 + 1

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Steht dort bei mir kein plus?

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Es muss x²-1 heißen.

:-)

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Irgendwie hab ich das heute nicht so mit den Vorzeichen glaub ich.