ich habe folgende Aufgabe gegeben:
f(x) = x*sin(1/x) für X ≠ 0
f(x) = 0 für x = 0
Untersuchen Sie die Funktion f : R → R, auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs. Berechnen Siedie Ableitung von f in jedem Punkt, in dem sie existiert.
Meine Loesung:
Stetigkeit:
stetig ja, ich benutzt epsilon-delte-kriterium habe, mit delta = epsilon/2 und gezeigt: |x|*|sin(1/x)| <= |x| < delte = epsilon/2 < epsilon
Differenzierbarkeit:
\( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \) = \( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x.sin(\frac{1}{x})-f(0*\frac{1}{0})}{x-0} \) <--- existert nicht, deswegen ist es nicht differenzierbar.
ableitung von 0 ist 0
Ist meine loesung korrekt?