Matrix-Berechnung für A und B

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie X=(A-E)^T • B^-1 für A=\( \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} \) und B=\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \)

B^-1=\( \begin{pmatrix}   &   \\   &   \end{pmatrix} \)

X=\( \begin{pmatrix}  &  \\  &  \end{pmatrix} \)

b) Bestimmen Sie (C(Konjugiert))* für die Matrix C=\( \begin{pmatrix} i-2 & 0 \\ 4 & 5-i \end{pmatrix} \)

(C(konjug.))* =\( \begin{pmatrix}  &  \\  &  \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich wäre sehr dankbar für einen Ansatz oder den theoretischen Lösungsweg.

Answer 1

Aloha :)

Die Inverse einer \(2\times2\)-Matrix erhält man, indem man auf der Hauptdiagonalen die Elemente tauscht und auf der Nebendiagonalen das Vorzeichen wechselt. Zusätzlich muss man noch durch die Determinante dividieren:$$B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\-4 & 1\end{pmatrix}$$Damit ist:$$X=\begin{pmatrix}4-1 & 5\\5 & -2-1\end{pmatrix}^T\cdot B^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 5\\5 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\-4 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-17 & 5\\17 & -3\end{pmatrix}$$

Um eine Matrix komplex zu konjugieren, musst du nur die Vorzeichen der Imaginärteile ändern:$$\begin{pmatrix}i-2 & 0\\4 & 5-i\end{pmatrix}^\ast=\begin{pmatrix}-i-2 & 0\\4 & 5+i\end{pmatrix}$$

Answer 2

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \)\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

simultan umformen bis links die Einheitsmatrix steht

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} \)

Das rechte ist dann B^(-1) . Dann gibt es X=

-17   5
 17   -3

\( C_{konj} = \begin{pmatrix} -i-2 & 0 \\ 4 & 5+i \end{pmatrix} \)

Vorzeichen des Im-Teils drehen.