Aloha :)
zu a) Wir legen unseren Kreis mit seinem Mittelpunkt zunächst in den Urpsrung des Koordinatensystems. Der Radius des Kreises sei \(r\) und \(\varphi\) sei der Auslenkwinkel aus der unteren Ruheposition \(\binom{0}{-r}\). Dann gelten für die \(x\)- und \(y\)-Koordinate:$$x=r\sin\varphi\quad;\quad y=-r\cos\varphi$$Mit der Umlaufzeit \(T\) des Riesenrads kennen wir die Zeit, die die Gondel braucht, um den Winkel \(2\pi\) im Bogenmaß zu überstreichen. Wenn die Umlaufgeschwindigkeit konstant ist, kennen wir damit auch den Winkel \(\varphi\) im Bogenmaß, der nach der Zeit \(t\) überstrichen wurde:$$\varphi=\pm\frac{2\pi}{T}\cdot t$$Das Vorzeichen des Winkels gibt an, ob sich das Riesenrad links oder rechtsherum dreht. In der Gleichung für die \(y\)-Koordinate spielt es keine Rolle, weil die \(y\)-Koordinate von der Drehrichtung unabhängig ist:$$y(t)=-r\cos\left(\frac{2\pi}{T}\cdot t\right)$$Der Radius der Kreisbahn beträgt \(r=30\,\mathrm m\). Die Umlaufzeit des Riesenrads beträt \(T=20\,\mathrm s\):$$y(t)=-30\cos\left(\frac{\pi}{10}\cdot t\right)$$Um daraus nun die Höhe \(h(t)\) des Riesenrades zu erhalten, müssen wir berücksichtigen, dass der Mittelpunkt des Kreises nicht im Urpsrung liegt, sondern in \(33\,\mathrm m\) Höhe am Drehpunkt des Riesenrades. Zur Unterscheidung, dass diese Verschiebung enthalten ist, schreiben wir nun nicht mehr \(y(t)\), sondern \(h(t)\):$$h(t)=33-30\cos\left(\frac{\pi}{10}\cdot t\right)$$
zu b) Hier die Zeichung mit Plotlux:
~plot~ 33-30*cos(pi/10*x) ; x=20 ; 45 ; [[0|22|0|70]] ~plot~
zu c) Es gibt zwei Punkte, an denen die Höhe \(h(t)\) die Höhe \(45\,\mathrm m\) des Kirchturms schneidet (grüne Linie in der Abbildung). Wir brauchen aber nur einen zu berechnen, weil wir wissen, dass das Riesenrad nach \(10\,s\) den höchsten Punkt erreicht hat: $$45\stackrel!=h(t)=33-30\cos\left(\frac{\pi}{10}\cdot t\right)\implies\cos\left(\frac{\pi}{10}\cdot t\right)=-\frac25\implies$$$$t=\frac{10}{\pi}\arccos(-0,4)\approx6,31\,\mathrm s$$Vom ersten Überschreiten der Kirchturmspitze bis zur maximalen Höhe nach \(10\,\mathrm s\) vergehen etwa \(3,69\,\mathrm s\). Die Gondel befindet sich daher die doppelte Dauer, also \(7,38\,\mathrm s\), oberhalb des Kirchturms.
zu d) Für die gesuchten Geschwindigkeiten gilt:$$\text{mittlere Geschw. in Sekunde 1}=\frac{h(1)-h(0)}{1\,\mathrm s}\approx\frac{4,4683\,\mathrm m-3\,\mathrm m}{1\,\mathrm s}=1,4683\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$$$$\text{mittlere Geschw. während Ansteig}=\frac{h(10)-h(0)}{10\,\mathrm s}=\frac{63\,\mathrm m-3\,\mathrm m}{10\,\mathrm s}=6\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$$
Für die momentane Steigungsgeschwindigkeit der Gondel gilt:$$v(t)=h'(t)=30\sin\left(\frac{\pi}{10}\cdot t\right)\cdot\frac{\pi}{10}=3\pi\cdot\sin\left(\frac{\pi}{10}\cdot t\right)$$sodass für die momentane Anstiegsgeschwindigkeit in Sekunde \(5\) gilt:$$\text{Geschw. in Sekunde 5}=v(5)=3\pi\approx9,42\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$$
