Mein Ansatz war erst Modulo 3 nehmen. Dann komm ich drauf dass \( x^{2} \) und \( y^{2} \) Vielfache von 3 sein müssen. Also auch x und y vielfache von 3.
Guter Ansatz, so geht es IMHO auch!
Wenn \(x\) und \(y\) Vielfache von 3 sein müssen, dann gilt doch, dass $$x = 3x', \quad y=3y', \quad x',\,y'\in \mathbb Z$$Einsetzen in die Ausgangsgleichung liefert$$\begin{aligned} 9x'^2 + 9xy + 9y'^2 &= 6 &&|\, \div 3 \\ 3(x'^2 + xy +y'^2) &= 2\end{aligned}$$Laut Voraussetzung müsste nun aber der Term auf der linken Seite der Gleichung hinter der 3 ganzzahlig sein. Es existiert aber keine ganzzahlige Zahl, die mit 3 multipliziert 2 ergibt.