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Aufgabe:

Ich soll die ganzzahligen Lösungen der folgenden Gleichung bestimmen: \( x^{2} \) + 9xy + \( y^{2} \) = 6.


Problem/Ansatz:

Hey Leute,
Kann mir jemand bei folgender Gleichung helfen?

Mein Ansatz war erst Modulo 3 nehmen. Dann komm ich drauf dass \( x^{2} \) und \( y^{2} \) Vielfache von 3 sein müssen. Also auch x und y vielfache von 3. Aber dann komm ich nicht weiter... Kann mir jemand sagen wie man allgemein an so eine Aufgabe rangeht und was in diesem Fall die Lösung ist. Danke

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Das hat keine ganzzahligen Lösungen.

2 Antworten

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Beste Antwort

Rechne in \(\mathbb{F}_7\):

\(x^2+9xy+y^2=x^2+2xy+y^2=(x+y)^2=6\).

Die einzigen Quadrate in \(\mathbb{F}_7\) sind jedoch 0,1,2,4.

Also ganzzahlig nicht lösbar.

Avatar von 29 k
Mein Ansatz war erst Modulo 3 nehmen. Dann komm ich drauf dass \( x^{2} \) und \( y^{2} \) Vielfache von 3 sein müssen. Also auch x und y vielfache von 3.

Guter Ansatz, so geht es IMHO auch!

Wenn \(x\) und \(y\) Vielfache von 3 sein müssen, dann gilt doch, dass $$x = 3x', \quad y=3y', \quad x',\,y'\in \mathbb Z$$Einsetzen in die Ausgangsgleichung liefert$$\begin{aligned} 9x'^2 + 9xy + 9y'^2 &= 6 &&|\, \div 3 \\ 3(x'^2 + xy +y'^2) &= 2\end{aligned}$$Laut Voraussetzung müsste nun aber der Term auf der linken Seite der Gleichung hinter der 3 ganzzahlig sein. Es existiert aber keine ganzzahlige Zahl, die mit 3 multipliziert 2 ergibt.

Auch eine schöne Lösung :-)

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Man kann zeigen, dass 6-7xy eine Quadratzahl sein müsste, was aber niemals sein kann.

Avatar von 123 k 🚀

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